Y = 2x² + 5X - 3 найти промежутки знакопостоянства. Для 8 класса

Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции \( Y = 2x^2 + 5x - 3 \), нам нужно следовать определенным шагам. Давайте разберем это пошагово. ### Шаг 1: Найдите корни уравнения Сначала мы найдем корни квадратного уравнения \( Y = 0 \). То есть, нам нужно решить уравнение: \[ 2x^2 + 5x - 3 = 0 \] Для этого воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 2 \), \( b = 5 \), \( c = -3 \). Подставим значения: 1. Сначала найдем дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 \] 2. Дискриминант положителен (\( D > 0 \)), значит, у уравнения два различных корня. 3. Теперь найдем сами корни: \[ x_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] \[ x_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \] ### Шаг 2: Определите интервалы Теперь у нас есть корни \( x_1 = \frac{1}{2} \) и \( x_2 = -3 \). Это делит ось \( x \) на три интервала: 1. \( (-\infty, -3) \) 2. \( (-3, \frac{1}{2}) \) 3. \( (\frac{1}{2}, +\infty) \) ### Шаг 3: Знак функции на интервалах Теперь нужно определить знак функции \( Y = 2x^2 + 5x - 3 \) на каждом из интервалов. 1. Для интервала \( (-\infty, -3) \): - Выберем тестовую точку, например, \( x = -4 \): \[ Y(-4) = 2(-4)^2 + 5(-4) - 3 = 32 - 20 - 3 = 9 \quad (> 0) \] Функция положительна. 2. Для интервала \( (-3, \frac{1}{2}) \): - Выберем тестовую точку \( x = 0 \): \[ Y(0) = 2(0)^2 + 5(0) - 3 = -3 \quad (< 0) \] Функция отрицательна. 3. Для интервала \( (\frac{1}{2}, +\infty) \): - Выберем тестовую точку \( x = 1 \): \[ Y(1) = 2(1)^2 + 5(1) - 3 = 2 + 5 - 3 = 4 \quad (> 0) \] Функция положительна. ### Шаг 4: Запишите результаты Теперь мы можем записать промежутки знакопостоянства: - \( Y > 0 \) на интервалах \( (-\infty, -3) \) и \( (\frac{1}{2}, +\infty) \) - \( Y < 0 \) на интервале \( (-3, \frac{1}{2}) \) ### Ответ Таким образом, промежутки знакопостоянства функции \( Y = 2x^2 + 5x - 3 \) следующие: - Положительные: \( (-\infty, -3) \) и \( (\frac{1}{2}, +\infty) \) - Отрицательный: \( (-3, \frac{1}{2}) \) Если у вас есть ещё вопросы, не стесняйтесь задавать!