Y = 2x² + 5X - 3 найти промежутки знакопостоянства. Для 8 класса

Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции \( Y = 2x^2 + 5x - 3 \), нам нужно следовать определенным шагам. Давайте разберем это пошагово.

Шаг 1: Найдите корни уравнения

Сначала мы найдем корни квадратного уравнения \( Y = 0 \). То есть, нам нужно решить уравнение:

\[ 2x^2 + 5x - 3 = 0 \]

Для этого воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \( a = 2 \), \( b = 5 \), \( c = -3 \).

Подставим значения:

1. Сначала найдем дискриминант \( D \):

   \[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 \]

2. Дискриминант положителен (\( D > 0 \)), значит, у уравнения два различных корня.

3. Теперь найдем сами корни:

   \[ x_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] \[ x_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \]

Шаг 2: Определите интервалы

Теперь у нас есть корни \( x_1 = \frac{1}{2} \) и \( x_2 = -3 \). Это делит ось \( x \) на три интервала:

1. \( (-\infty, -3) \)
2. \( (-3, \frac{1}{2}) \)
3. \( (\frac{1}{2}, +\infty) \)

Шаг 3: Знак функции на интервалах

Теперь нужно определить знак функции \( Y = 2x^2 + 5x - 3 \) на каждом из интервалов.

1. Для интервала \( (-\infty, -3) \):

   • Выберем тестовую точку, например, \( x = -4 \): \[ Y(-4) = 2(-4)^2 + 5(-4) - 3 = 32 - 20 - 3 = 9 \quad (> 0) \] Функция положительна.

2. Для интервала \( (-3, \frac{1}{2}) \):

   • Выберем тестовую точку \( x = 0 \): \[ Y(0) = 2(0)^2 + 5(0) - 3 = -3 \quad (< 0) \] Функция отрицательна.

3. Для интервала \( (\frac{1}{2}, +\infty) \):

   • Выберем тестовую точку \( x = 1 \): \[ Y(1) = 2(1)^2 + 5(1) - 3 = 2 + 5 - 3 = 4 \quad (> 0) \] Функция положительна.

Шаг 4: Запишите результаты

Теперь мы можем записать промежутки знакопостоянства:

• \( Y > 0 \) на интервалах \( (-\infty, -3) \) и \( (\frac{1}{2}, +\infty) \)
• \( Y < 0 \) на интервале \( (-3, \frac{1}{2}) \)

Ответ

Таким образом, промежутки знакопостоянства функции \( Y = 2x^2 + 5x - 3 \) следующие:

• Положительные: \( (-\infty, -3) \) и \( (\frac{1}{2}, +\infty) \)
• Отрицательный: \( (-3, \frac{1}{2}) \)

Если у вас есть ещё вопросы, не стесняйтесь задавать!