Для решения этой задачи, давайте разберемся с данными, которые у нас есть.
Шаг 1: Определим характеристики основания призмы
Основание призмы является прямоугольным треугольником с одним катетом, равным 6 см, и острым углом 45 градусов. Так как один из углов 45 градусов, второй острый угол также должен быть 45 градусов, а третий угол равен 90 градусам.
Для прямоугольного треугольника с двумя равными углами (45 градусов) катеты равны по длине. Следовательно, если один катет равен 6 см, то и другой катет тоже равен 6 см.
Шаг 2: Вычислим площадь основания
Площадь ( S ) прямоугольного треугольника рассчитывается по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \times a \times b
]
где ( a ) и ( b ) — это длины катетов. Подставим значения:
[
S = \frac{1}{2} \times 6 , \text{см} \times 6 , \text{см} = \frac{1}{2} \times 36 , \text{см}^2 = 18 , \text{см}^2
]
Шаг 3: Найдем высоту призмы
Объем ( V ) призмы вычисляется по формуле:
[
V = S \times h
]
где ( S ) — площадь основания и ( h ) — высота призмы. Из условия задачи известно, что объем равен 108 см³. Подставим наши известные значения:
[
108 = 18 , \text{см}^2 \times h
]
Теперь решим уравнение относительно ( h ):
[
h = \frac{108}{18} = 6 , \text{см}
]
Шаг 4: Найдем полный периметр основания
Теперь найдем длину гипотенузы ( c ) прямоугольного треугольника, чтобы позже рассчитать площадь полной поверхности. Используем теорему Пифагора:
[
c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} , \text{см}
]
Теперь можем найти периметр основания:
[
P = a + b + c = 6 + 6 + 6\sqrt{2} = 12 + 6\sqrt{2} , \text{см}
]
Шаг 5: Вычислим площадь полной поверхности
Площадь полной поверхности ( A ) призмы складывается из двух площадей оснований и площади боковой поверхности:
[
A = 2S + P \cdot h
]
где ( P ) — периметр основания, а ( h ) — высота.
Теперь подставим известные значения:
[
A = 2 \times 18 + (12 + 6\sqrt{2}) \times 6
]
[
A = 36 + 72 + 36\sqrt{2} = 108 + 36\sqrt{2} , \text{см}^2
]
Ответ
Полная поверхность призмы равна ( 108 + 36\sqrt{2} ) см².
