Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетом 6 см и острым углом 45 градусов. Объём призмы равен 108 см3. Найдите площадь полной поверхности призмы

Для решения этой задачи, давайте разберемся с данными, которые у нас есть.

Шаг 1: Определим характеристики основания призмы

Основание призмы является прямоугольным треугольником с одним катетом, равным 6 см, и острым углом 45 градусов. Так как один из углов 45 градусов, второй острый угол также должен быть 45 градусов, а третий угол равен 90 градусам.

Для прямоугольного треугольника с двумя равными углами (45 градусов) катеты равны по длине. Следовательно, если один катет равен 6 см, то и другой катет тоже равен 6 см.

Шаг 2: Вычислим площадь основания

Площадь \( S \) прямоугольного треугольника рассчитывается по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \]

где \( a \) и \( b \) — это длины катетов. Подставим значения:

\[ S = \frac{1}{2} \times 6 \, \text{см} \times 6 \, \text{см} = \frac{1}{2} \times 36 \, \text{см}^2 = 18 \, \text{см}^2 \]

Шаг 3: Найдем высоту призмы

Объем \( V \) призмы вычисляется по формуле:

\[ V = S \times h \]

где \( S \) — площадь основания и \( h \) — высота призмы. Из условия задачи известно, что объем равен 108 см³. Подставим наши известные значения:

\[ 108 = 18 \, \text{см}^2 \times h \]

Теперь решим уравнение относительно \( h \):

\[ h = \frac{108}{18} = 6 \, \text{см} \]

Шаг 4: Найдем полный периметр основания

Теперь найдем длину гипотенузы \( c \) прямоугольного треугольника, чтобы позже рассчитать площадь полной поверхности. Используем теорему Пифагора:

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \, \text{см} \]

Теперь можем найти периметр основания:

\[ P = a + b + c = 6 + 6 + 6\sqrt{2} = 12 + 6\sqrt{2} \, \text{см} \]

Шаг 5: Вычислим площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности \( A \) призмы складывается из двух площадей оснований и площади боковой поверхности:

\[ A = 2S + P \cdot h \]

где \( P \) — периметр основания, а \( h \) — высота.

Теперь подставим известные значения:

\[ A = 2 \times 18 + (12 + 6\sqrt{2}) \times 6 \] \[ A = 36 + 72 + 36\sqrt{2} = 108 + 36\sqrt{2} \, \text{см}^2 \]

Ответ

Полная поверхность призмы равна \( 108 + 36\sqrt{2} \) см².