Давайте решим оба задания по очереди.
Задание 1:
Дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90°, катет AC = 5, а гипотенуза AB = 13. Нам нужно найти длину катета BC.
Для решения задачи можно использовать теорему Пифагора, которая гласит:
[ AB^2 = AC^2 + BC^2 ]
где:
- ( AB ) — гипотенуза,
- ( AC ) — один из катетов,
- ( BC ) — другой катет, который мы хотим найти.
Подставим известные значения:
[
13^2 = 5^2 + BC^2
]
Теперь рассчитаем квадрат гипотенузы и катета:
[
169 = 25 + BC^2
]
Теперь из этого уравнения найдем ( BC^2 ):
[
BC^2 = 169 - 25 = 144
]
Теперь находим ( BC ):
[
BC = \sqrt{144} = 12
]
Ответ: Длина катета BC равна 12.
Задание 2:
Дано, что два катета прямоугольного треугольника равны 7 и 24. Нам нужно найти высоту, проведенную к гипотенузе.
Сначала найдем длину гипотенузы ( c ) с использованием теоремы Пифагора:
[
c^2 = a^2 + b^2
]
где ( a = 7 ), ( b = 24 ). Подставляем значения:
[
c^2 = 7^2 + 24^2
]
Рассчитаем:
[
c^2 = 49 + 576 = 625
]
Теперь найдем ( c ):
[
c = \sqrt{625} = 25
]
Теперь, чтобы найти высоту ( h ), проведенную к гипотенузе, можно воспользоваться формулой для площади треугольника. Площадь прямоугольного треугольника равна:
[
S = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 7 \times 24 = 84
]
Площадь также можно выразить через высоту и гипотенузу:
[
S = \frac{1}{2} \times c \times h
]
Подставим известные значения:
[
84 = \frac{1}{2} \times 25 \times h
]
Умножим обе стороны на 2:
[
168 = 25h
]
Теперь разделим на 25:
[
h = \frac{168}{25} = 6.72
]
Ответ: Высота, проведенная к гипотенузе, равна 6.72.
