Сколько четырехзначных натуральных чисел можно составить из цифр от одного до девяти таким образом, чтобы каждая следующая цифра была больше предыдущей (например 1367)?
Чтобы решить задачу о количестве четырехзначных натуральных чисел, которые можно составить из цифр от одного до девяти с условием, что каждая следующая цифра больше предыдущей, мы можем воспользоваться методом комбинаторики.
Шаг 1: Определение выбора цифр
Мы имеем 9 цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Поскольку в числе не может быть повторяющихся цифр и каждая следующая цифра должна быть больше предыдущей, это значит, что мы должны выбрать 4 различные цифры из этих 9.
Шаг 2: Использование комбинаций
При выборе 4 цифр из 9, порядок не имеет значения, так как мы говорим о возрастающей последовательности. То есть, любые 4 выбранные цифры будут автоматически упорядочены по возрастанию.
Шаг 3: Формула для сочетаний
Количество способов выбрать k элемент из n называется сочетанием, и обозначается символом \( C(n, k) \), что рассчитывается по формуле: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] где \( n! \) (факториал n) — это произведение всех положительных целых чисел от 1 до n.
В нашем случае:
- \( n = 9 \) (все доступные цифры)
- \( k = 4 \) (цифры, которые мы хотим выбрать)
Шаг 4: Подставляем значения
Теперь подставим значения в формулу: \[ C(9, 4) = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4! \cdot 5!} \] Сначала вычислим факториалы:
- \( 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5! \) (заметим, что \( 5! \) сокращается в числителе и знаменателе)
- \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)
Теперь подставляем это в формулу: \[ C(9, 4) = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{24} \]
Шаг 5: Упрощаем выражение
Посчитаем числитель: \[ 9 \times 8 = 72 \] \[ 72 \times 7 = 504 \] \[ 504 \times 6 = 3024 \] Теперь под деление: \[ C(9, 4) = \frac{3024}{24} = 126 \]
Ответ
Таким образом, количество четырехзначных натуральных чисел, составленных из цифр от одного до девяти так, чтобы каждая следующая цифра была больше предыдущей, составляет 126.
