Чтобы решить задачу о количестве четырехзначных натуральных чисел, которые можно составить из цифр от одного до девяти с условием, что каждая следующая цифра больше предыдущей, мы можем воспользоваться методом комбинаторики.
Шаг 1: Определение выбора цифр
Мы имеем 9 цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Поскольку в числе не может быть повторяющихся цифр и каждая следующая цифра должна быть больше предыдущей, это значит, что мы должны выбрать 4 различные цифры из этих 9.
Шаг 2: Использование комбинаций
При выборе 4 цифр из 9, порядок не имеет значения, так как мы говорим о возрастающей последовательности. То есть, любые 4 выбранные цифры будут автоматически упорядочены по возрастанию.
Шаг 3: Формула для сочетаний
Количество способов выбрать k элемент из n называется сочетанием, и обозначается символом ( C(n, k) ), что рассчитывается по формуле:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
где ( n! ) (факториал n) — это произведение всех положительных целых чисел от 1 до n.
В нашем случае:
- ( n = 9 ) (все доступные цифры)
- ( k = 4 ) (цифры, которые мы хотим выбрать)
Шаг 4: Подставляем значения
Теперь подставим значения в формулу:
[
C(9, 4) = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4! \cdot 5!}
]
Сначала вычислим факториалы:
- ( 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5! ) (заметим, что ( 5! ) сокращается в числителе и знаменателе)
- ( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 )
Теперь подставляем это в формулу:
[
C(9, 4) = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{24}
]
Шаг 5: Упрощаем выражение
Посчитаем числитель:
[
9 \times 8 = 72
]
[
72 \times 7 = 504
]
[
504 \times 6 = 3024
]
Теперь под деление:
[
C(9, 4) = \frac{3024}{24} = 126
]
Ответ
Таким образом, количество четырехзначных натуральных чисел, составленных из цифр от одного до девяти так, чтобы каждая следующая цифра была больше предыдущей, составляет 126.
