Сколько сторон имеету правильный вии- R санный многоугольник, если дуга описанной окружности, которую стягивает его сторона, равна: а) 609; 6) 309; в) 90; г) 36°; д) 18°; е) 72°?
Чтобы решить задачу, нужно вспомнить свойства правильного многоугольника и его связи с окружностью.
Правильный многоугольник — это многоугольник, все стороны и углы которого равны. Каждый правильный многоугольник можно вписать в окружность (называемую описанной), и в этом случае:
- Угол, стянутый стороной многоугольника в центре окружности (центральный угол), равен \( \frac{360°}{n} \), где \( n \) — число сторон многоугольника.
- Дуга описанной окружности, стягиваемая стороной, равна центральному углу, соответствующему этой стороне.
Таким образом, для правильного многоугольника, срединный угол (или дуга, которую стягивает одна сторона) равен \( \frac{360°}{n} \).
Теперь давайте определим \( n \) для каждого из заданных углов:
a) 609°
Чтобы найти число сторон, \( n \):
\[
\frac{360°}{n} = 609°
\]
Находим \( n \):
\[
n = \frac{360°}{609°} \quad \text{(это нецелое число)} \quad \Rightarrow \text{такого многоугольника не существует.}
\]
b) 309°
\[
\frac{360°}{n} = 309°
\]
\[
n = \frac{360°}{309°} \quad \text{(также нецелое)} \quad \Rightarrow \text{такого многоугольника не существует.}
\]
c) 90°
\[
\frac{360°}{n} = 90°
\]
\[
n = \frac{360°}{90°} = 4
\]
Это правильный четырехугольник (квадрат).
d) 36°
\[
\frac{360°}{n} = 36°
\]
\[
n = \frac{360°}{36°} = 10
\]
Это правильный десятиугольник.
e) 18°
\[
\frac{360°}{n} = 18°
\]
\[
n = \frac{360°}{18°} = 20
\]
Это правильный двадцатигранник.
f) 72°
\[
\frac{360°}{n} = 72°
\]
\[
n = \frac{360°}{72°} = 5
\]
Это правильный пятиугольник.
Подводим итоги:
- a) 609° — не существует
- b) 309° — не существует
- c) 90° — 4 стороны (квадрат)
- d) 36° — 10 сторон (десятиугольник)
- e) 18° — 20 сторон (двадцатигранник)
- f) 72° — 5 сторон (пятиугольник)
