Найдите координаты вершины параллелограма АБСД если А(-3;2) В(4;-3) С(-1;-4)
Для нахождения координат вершины параллелограма \( ABCD \), где даны три вершины \( A(-3; 2) \), \( B(4; -3) \) и \( C(-1; -4) \), нам нужно использовать свойство параллелограммов.
Свойство параллелограммов:
В параллелограмме противолежащие вершины имеют одинаковые средние значения. То есть, если мы знаем координаты трех вершин, мы можем найти четвертую, используя формулу для нахождения среднего значения.
Шаг 1: Запишем координаты известных вершин
- \( A(-3, 2) \)
- \( B(4, -3) \)
- \( C(-1, -4) \)
Шаг 2: Используем формулу для центра параллелограмма
В параллелограмме центр делится пополам, и координаты центра \( O \) можно выразить через координаты четырех вершин:
\[ O_x = \frac{A_x + C_x}{2} \quad \text{и} \quad O_y = \frac{A_y + C_y}{2} \]
где \( O_x \) и \( O_y \) — координаты центра, а \( A_x, A_y, C_x, C_y \) — это координаты вершин \( A \) и \( C \) соответственно.
Рассмотрим \( O \) как среднюю точку между двумя параллельно расположенными вершинами \( A \) и \( C \), в то время как \( B \) и \( D \) имеют аналогичное свойство.
Шаг 3: Найдем координаты \( D(X, Y) \)
Мы знаем, что:
\[ M_{AB} = M_{CD} \]
где \( M_{AB} \) — среднее значение между вершинами \( A \) и \( B \), а \( M_{CD} \) — между \( C \) и \( D \).
Координаты центра \( M_{AB} \) выражаются как
\[ M_{AB} = \left( \frac{A_x + B_x}{2}, \frac{A_y + B_y}{2} \right) \]
Координаты \( D \) можно найти так:
\[ D_x = A_x + C_x - B_x \] \[ D_y = A_y + C_y - B_y \]
Шаг 4: Подставим значения
Теперь подставим координаты:
- Для \( D_x \):
\[ D_x = (-3) + (-1) - 4 = -3 - 1 - 4 = -8 \]
- Для \( D_y \):
\[ D_y = 2 + (-4) - (-3) = 2 - 4 + 3 = 1 \]
Ответ
Координаты вершины \( D \) параллелограмма \( ABCD \) равны \( D(-8; 1) \).
Итог
Таким образом, координаты вершины параллелограмма \( ABCD \), учитывая данные вершины \( A \), \( B \) и \( C \), равны \( D(-8; 1) \).
