В крупном отделе компании 5 человек получают зарплату 50 тыс.р. в месяц, 10 человек получают 60 тыс.р., 6 человек получают по 100 тыс.р, и 2 человека – по 120 тыс.р.
Перед Новым Годом совет директоров компании выделил на премирование сотрудников отдела 200 тыс. р. Эта сумма будет добавлена к декабрьской зарплате. Начальник отдела хочет распределить премии так, чтобы медиана общих выплат сотрудникам в декабре оказалась наибольшей возможной (это важный показатель работы начальника). Найдите эту наибольшую возможную медианную выплату. Ответ дайте в тысячах рублей.
Для решения этой задачи нам необходимо понять, как распределение премий повлияет на медиану общей выплаты сотрудникам. Медиана — это значение, которое делит набор данных на две равные части.
### Шаги решения:
1. **Соберем информацию о текущих зарплатах:**
- 5 сотрудников получают по 50 тыс. руб.
- 10 сотрудников получают по 60 тыс. руб.
- 6 сотрудников получают по 100 тыс. руб.
- 2 сотрудника получают по 120 тыс. руб.
Получаем общий список зарплат:
```
50, 50, 50, 50, 50, (5 человек)
60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, (10 человек)
100, 100, 100, 100, 100, 100, (6 человек)
120, 120 (2 человека)
```
2. **Вычислим общее количество сотрудников:**
\[
5 + 10 + 6 + 2 = 23 \text{ сотрудника}
\]
3. **Определим текущую медиану:**
Так как общее количество сотрудников нечетное, медианой будет 12-я по величине зарплата после упорядочивания.
Упорядочим зарплаты:
```
50, 50, 50, 50, 50,
60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60,
100, 100, 100, 100, 100, 100,
120, 120
```
Посчитаем по порядку:
- 1-5: 50 тыс.
- 6-15: 60 тыс. (это 10 значений)
- 16-21: 100 тыс. (это 6 значений)
- 22-23: 120 тыс.
12-я зарплата = 60 тыс. руб.
4. **Распределим 200 тыс. руб., чтобы максимизировать медиану:**
Чтобы медиана выросла, нам необходимо увеличить зарплаты хотя бы у 12 из 23 сотрудников до значения 100 тыс. р. или более.
Попробуем сначала поднять 10 зарплат до 100 тыс.:
- Мы можем дать 40 тыс. каждому из 10 сотрудников, получающих по 60 тыс., чтобы они стали получать по 100 тыс.
Это потребует:
\[
10 \times 40 = 400 \text{ тыс. руб.}
\]
Это больше, чем доступные 200 тыс., поэтому необходимо распределить премии иначе.
**Стратегия:** Поднимем 5 сотрудников, получающих по 50 тыс. р., до 60 тыс. р.:
\[
5 \times 10 = 50 \text{ тыс. руб.}
\]
Останется 150 тыс., которые можно распределить между 10 сотрудниками, получающими по 60 тыс. р. (максимум 100 тыс.):
- Пусть 5 из этих сотрудников получат по 30 тыс. р. (до 90 тыс. р.):
\[
5 \times 30 = 150 \text{ тыс. руб.}
\]
- Оставшиеся 5 сотрудников получат по 60 тыс. р. (без изменений).
Таким образом, у нас будет:
- 5 сотрудников: 60 тыс. р.
- 10 сотрудников: 90 тыс. р.
- 6 сотрудников: 100 тыс. р.
- 2 сотрудника: 120 тыс. р.
5. **Медиана после распределения:**
Теперь у нас следующая упорядоченная выборка:
```
60, 60, 60, 60, 60, (5 человек)
90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, (10 человек, 90 тыс. р.)
100, 100, 100, 100, 100, 100, (6 человек)
120, 120 (2 человека)
```
12-я по величине зарплата = 90 тыс. руб.
6. **Ответ:**
Наибольшая возможная медианная выплата составит **90** тыс. рублей.
