Функция задана формулой f(x) = (x ^ 2) / 4 - x Найдите: 1) f(- 2) и f(3); 2) нули функции. Найдите область определения функции f(x) = (x + 2) / (x ^ 2 + x - 20) . Постройте график…

Давайте разберем вашу задачу по частям, чтобы дать детальное объяснение.

1. Найдите:

a) Значения функции:

Функция: \( f(x) = \frac{x^2}{4} - x \)

Найдите \( f(-2) \):

• Подставляем \( x = -2 \): \[ f(-2) = \frac{(-2)^2}{4} - (-2) = \frac{4}{4} + 2 = 1 + 2 = 3 \]

Найдите \( f(3) \):

• Подставляем \( x = 3 \): \[ f(3) = \frac{3^2}{4} - 3 = \frac{9}{4} - 3 = \frac{9}{4} - \frac{12}{4} = \frac{9 - 12}{4} = \frac{-3}{4} \]

Таким образом:

• \( f(-2) = 3 \)
• \( f(3) = -\frac{3}{4} \)

b) Нули функции:

Найдем нули, приравняв функцию к нулю: \[ \frac{x^2}{4} - x = 0 \] Умножим обе части уравнения на 4 для удобства: \[ x^2 - 4x = 0 \] Выносим \( x \) за скобки: \[ x(x - 4) = 0 \] Таким образом, получаем: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \]

Нули функции: \( x = 0 \) и \( x = 4 \).

2. Область определения функции:

Функция: \( f(x) = \frac{x + 2}{x^2 + x - 20} \)

Сначала найдем нули знаменателя: \[ x^2 + x - 20 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение по формуле дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 \] Корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 9}{2} \] Находим корни: \[ x_1 = \frac{8}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{-10}{2} = -5 \]

Область определения: Функция определена для всех \( x \), кроме мест, где знаменатель равен нулю: \( x \neq 4 \) и \( x \neq -5 \).

3. Постройте график функции:

Функция: \( f(x) = x^2 - 2x - 8 \)

Для построения графика найдем вершину параболы: \[ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1 \] Теперь подставляем \( x = 1 \) в функцию: \[ f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 - 8 = 1 - 2 - 8 = -9 \] Вершина: \( (1, -9) \)

Найдем корни: \[ x^2 - 2x - 8 = 0 \] По формуле дискриминанта: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \] Корни: \[ x = \frac{2 \pm 6}{2} \] Таким образом: \[ x_1 = 4, \quad x_2 = -2 \]

4. Используя график, найдите:

1. Область значений функции: Парабола открыта вверх, минимальное значение достигается в вершине, следовательно, \( y \geq -9 \).
2. Промежуток возрастания функции: Функция возрастает на \( (-\infty, 1) \) и \( (1, +\infty) \).
3. Множество решений неравенства \( f(x) < 0 \): \( x \in (-2, 4) \).

5. Постройте график функций:

1. Функция: \( f(x) = \sqrt{x} - 2 \). Определение \( x \geq 0 \).
2. Функция: \( f(x) = \sqrt{x - 2} \). Определение \( x \geq 2 \).

6. Найдите область определения функции:

Функция: \( f(x) = \sqrt{x - 1} + \frac{2}{x^2 - 9} \) Область определения:

1. \( \sqrt{x - 1} \) требует \( x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 \).
2. \( \frac{2}{x^2 - 9} \) требует \( x^2 - 9 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 \) и \( x \neq -3 \).

Результат для области определения: \( x \geq 1, \, x \neq 3 \).

7. Найдите значения \( b \) и \( c \) для параболы:

Уравнение: \( y = 3x^2 + bx + c \) проходит через точку \( A(-2; 1) \): \[ 1 = 3(-2)^2 + b(-2) + c \Rightarrow 1 = 3 \cdot 4 - 2b + c \Rightarrow 1 = 12 - 2b + c \] Решаем к системе уравнений, чтобы найти \( b \) и \( c \). Дополнительно необходимо знать, какие дополнительные условия могут быть у вас для \( b \) и \( c \).

Если у вас есть дополнительная информация или уточнения, дайте знать!