Давайте разберем вашу задачу по частям, чтобы дать детальное объяснение.
1. Найдите:
a) Значения функции:
Функция: ( f(x) = \frac{x^2}{4} - x )
Найдите ( f(-2) ):
- Подставляем ( x = -2 ):
[
f(-2) = \frac{(-2)^2}{4} - (-2) = \frac{4}{4} + 2 = 1 + 2 = 3
]
Найдите ( f(3) ):
- Подставляем ( x = 3 ):
[
f(3) = \frac{3^2}{4} - 3 = \frac{9}{4} - 3 = \frac{9}{4} - \frac{12}{4} = \frac{9 - 12}{4} = \frac{-3}{4}
]
Таким образом:
- ( f(-2) = 3 )
- ( f(3) = -\frac{3}{4} )
b) Нули функции:
Найдем нули, приравняв функцию к нулю:
[
\frac{x^2}{4} - x = 0
]
Умножим обе части уравнения на 4 для удобства:
[
x^2 - 4x = 0
]
Выносим ( x ) за скобки:
[
x(x - 4) = 0
]
Таким образом, получаем:
[
x = 0 \quad \text{или} \quad x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4
]
Нули функции: ( x = 0 ) и ( x = 4 ).
2. Область определения функции:
Функция: ( f(x) = \frac{x + 2}{x^2 + x - 20} )
Сначала найдем нули знаменателя:
[
x^2 + x - 20 = 0
]
Решаем квадратное уравнение по формуле дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81
]
Корни уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 9}{2}
]
Находим корни:
[
x_1 = \frac{8}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{-10}{2} = -5
]
Область определения:
Функция определена для всех ( x ), кроме мест, где знаменатель равен нулю:
( x \neq 4 ) и ( x \neq -5 ).
3. Постройте график функции:
Функция: ( f(x) = x^2 - 2x - 8 )
Для построения графика найдем вершину параболы:
[
x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1
]
Теперь подставляем ( x = 1 ) в функцию:
[
f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 - 8 = 1 - 2 - 8 = -9
]
Вершина: ( (1, -9) )
Найдем корни:
[
x^2 - 2x - 8 = 0
]
По формуле дискриминанта:
[
D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36
]
Корни:
[
x = \frac{2 \pm 6}{2}
]
Таким образом:
[
x_1 = 4, \quad x_2 = -2
]
4. Используя график, найдите:
- Область значений функции: Парабола открыта вверх, минимальное значение достигается в вершине, следовательно, ( y \geq -9 ).
- Промежуток возрастания функции: Функция возрастает на ( (-\infty, 1) ) и ( (1, +\infty) ).
- Множество решений неравенства ( f(x) < 0 ): ( x \in (-2, 4) ).
5. Постройте график функций:
- Функция: ( f(x) = \sqrt{x} - 2 ). Определение ( x \geq 0 ).
- Функция: ( f(x) = \sqrt{x - 2} ). Определение ( x \geq 2 ).
6. Найдите область определения функции:
Функция: ( f(x) = \sqrt{x - 1} + \frac{2}{x^2 - 9} )
Область определения:
- ( \sqrt{x - 1} ) требует ( x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 ).
- ( \frac{2}{x^2 - 9} ) требует ( x^2 - 9 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 ) и ( x \neq -3 ).
Результат для области определения: ( x \geq 1, , x \neq 3 ).
7. Найдите значения ( b ) и ( c ) для параболы:
Уравнение: ( y = 3x^2 + bx + c ) проходит через точку ( A(-2; 1) ):
[
1 = 3(-2)^2 + b(-2) + c \Rightarrow 1 = 3 \cdot 4 - 2b + c \Rightarrow 1 = 12 - 2b + c
]
Решаем к системе уравнений, чтобы найти ( b ) и ( c ). Дополнительно необходимо знать, какие дополнительные условия могут быть у вас для ( b ) и ( c ).
Если у вас есть дополнительная информация или уточнения, дайте знать!
