Решить

Давайте разберем каждую задачу по порядку.

№1: Вычислите \(9^{15} \cdot 81^5 \cdot \left(0.5\right)^2 = a^b\)

1. Упростим выражение:

   \[ 81 = 9^2, \quad \text{поэтому} \quad 81^5 = (9^2)^5 = 9^{10} \]

   \[ (0.5)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} = 4^{-1} \]

2. Перепишем выражение в виде одной степени:

   \[ 9^{15} \cdot 9^{10} = 9^{25} \]

   \[ 9^{25} \cdot 4^{-1} \]

   Здесь можем переписать \(9\) и \(4\) через степень числа \(3\):

   \[ 9 = 3^2, \quad \text{поэтому} \quad 9^{25} = (3^2)^{25} = 3^{50} \]

   \[ 4^{-1} = (2^2)^{-1} = 2^{-2} \]

3. Свяжем степени. Учтём, что нет выражения в виде одной степени, но можем пересчитать как произведение:

   Итак, \(a^b = 3^{50} \cdot 2^{-2}\), и детали степени для \(a\) и \(b\) из даденной формулы не дают однозначного ответа без значения \(b\).

№2: Упростите выражение \( \frac{a^3 \cdot b^2 \cdot a^{-1}}{b \cdot a^2 \cdot b^{-4}} \)

1. Сгруппируем и упростим:

   \[ \frac{a^{3-1} \cdot b^{2}}{a^{2} \cdot b^{1}} \]

2. Упростим по степеням:

   \[ = a^{3-1-2} \cdot b^{2-1+4} = a^{0} \cdot b^{5} \]

   \[ = b^5 \]

№3: Решите уравнения

• а) \( 3^x = 27 \)

  1. Перепишем \(27\) как степень тройки: \(27 = 3^3\).
  2. Получаем \(3^x = 3^3\), откуда \(x = 3\).

• b) \( 5^{x+1} = 5^4 \cdot 5^{-1} \)

  1. Перепишем правую часть: \(5^4 \cdot 5^{-1} = 5^{4-1} = 5^3\).
  2. Приравниваем степени: \(x+1 = 3\), откуда \(x = 2\).

• c) \( 2^{3x-1}=8\)

  1. Перепишем \(8\) как степень двойки: \(8 = 2^3\).
  2. Получаем \(2^{3x-1} = 2^3\), откуда \(3x-1 = 3\).
  3. \(3x = 4\), значит \(x = \frac{4}{3}\).

№4: Решите неравенства

• a) \( 10^x < \frac{1}{1000000} \)

  1. Перепишем правую часть как степень \(10\): \(\frac{1}{1000000} = 10^{-6}\).
  2. Получаем неравенство: \(10^x < 10^{-6}\).
  3. Следовательно, \(x < -6\).

• b) \( 4^x - 15 \cdot (4^{-x}) = 0 \)

  1. Делим на \( (4^x) \) и получаем:

     \[ 4^x = 15 \cdot 4^{-x} \]

  2. Тогда \((4^x)^2 = 15\).

  3. Значит, \(4^{2x} = 15\).

  4. Решаем это уравнение, беря логарифмы:

     \(2x \ln(4) = \ln(15)\).

  5. \(x = \frac{\ln(15)}{2\ln(4)}\).

№5: Решите систему уравнений

\[ \begin{cases} 3x - 2y = -1 \\ 3x + 3y = 9 \end{cases} \]

1. Выразим \(x\) из второго уравнения: \(3x = 9 - 3y\), \(x = 3 - y\).

2. Подставим в первое уравнение: \(3(3 - y) - 2y = -1\).

3. Раскроем скобки: \(9 - 3y - 2y = -1\).

4. Получаем: \(9 - 5y = -1\), следовательно \(-5y = -10\), \(y = 2\).

5. Найдем \(x\): \(x = 3 - 2 = 1\).

Ответ: \(x = 1, y = 2\).

Если есть дополнительные вопросы или требуется ещё что-то объяснить, дайте знать!