В треугольнике АВС известно, что AC = ВС, АВ = 3кореньиз10 и высота АН = 3. Найдите tg(угол BAC).

Для решения задачи начнем с того, что у нас есть треугольник ABC, где AC = BC (что означает, что треугольник равнобедренный), AB = \(3\sqrt{10}\) и высота AN, проведенная из вершины A на сторону BC, равна 3.

Шаг 1: Определение переменных

Обозначим:

• \(AB = c = 3\sqrt{10}\),
• \(AC = BC = a\) – длины боковых сторон,
• \(h = AN = 3\) – высота.

Шаг 2: Применение формулы для площади треугольника

Площадь треугольника \(S\) можно выразить двумя способами:

1. Через основание и высоту: \[ S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 3 = \frac{3a}{2} \]

2. Через сторону и угол: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(BAC) = \frac{1}{2} \cdot c \cdot a \cdot \sin(BAC) = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{10} \cdot a \cdot \sin(BAC) \]

Шаг 3: Приравнивание площади

Приравняем два выражения для площади: \[ \frac{3a}{2} = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{10} \cdot a \cdot \sin(BAC) \] Упростим: \[ 3a = 3\sqrt{10} \cdot a \cdot \sin(BAC) \] Так как \(a \neq 0\), можем сократить: \[ 3 = 3\sqrt{10} \cdot \sin(BAC) \] И найдем синус угла: \[ \sin(BAC) = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10} \]

Шаг 4: Нахождение косинуса угла

Также можно использовать теорему Пифагора на треугольнике ANB (где N - основание высоты A): \[ AN^2 + NB^2 = AB^2 \] Здесь:

• \(AN = h = 3\),
• \(NB = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2}\).

Таким образом, получаем уравнение: \[ 3^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = (3\sqrt{10})^2 \] То есть: \[ 9 + \frac{a^2}{4} = 90 \] Умножаем на 4: \[ 36 + a^2 = 360 \] Следовательно: \[ a^2 = 324 \quad \Rightarrow \quad a = 18 \]

Шаг 5: Нахождение синуса и косинуса

Теперь можем найти \(NB\): \[ NB = \frac{a}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]

Теперь можем найти cos(BAC) через теорему Пифагора: \[ \cos(BAC) = \frac{NB}{AB} = \frac{9}{3\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \]

Шаг 6: Нахождение тангенса угла

Теперь используем отношение \(tg(BAC) = \frac{\sin(BAC)}{\cos(BAC)}\): \[ tg(BAC) = \frac{\frac{\sqrt{10}}{10}}{\frac{3}{\sqrt{10}}} = \frac{\sqrt{10}}{10} \cdot \frac{\sqrt{10}}{3} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \]

Ответ

Таким образом, тангенс угла \(BAC\) равен: \[ tg(BAC) = \frac{1}{3} \]