Для решения этой задачи, нам необходимо определить, сколько оксида хрома (III) потребуется для получения искусственного рубина, если массовое соотношение атомов алюминия и хрома должно составлять 97 к 3. Начнем по шагам.
Шаг 1: Перевод каратов в граммы
Зная, что 1 карат равен 0,2 грамма, переведем 18 карат в граммы:
[
18 \text{ карат} \times 0,2 \text{ г/карат} = 3,6 \text{ г}
]
Шаг 2: Расчет количества атомов алюминия в образце
Согласно формуле Al₂O₃, один формульный единица содержит 2 атома алюминия и 3 атома кислорода. Рассчитаем количество атомов алюминия в 3,6 г корунда.
Сначала найдем молярную массу корунда (Al₂O₃):
- Молярная масса Al = 27 г/моль
- Молярная масса O = 16 г/моль
Молярная масса Al₂O₃:
[
\text{М(M)} = 2 \cdot 27 + 3 \cdot 16 = 54 + 48 = 102 \text{ г/моль}
]
Теперь найдем, сколько моль корунда в 3,6 г:
[
\text{число моль} = \frac{3,6 \text{ г}}{102 \text{ г/моль}} \approx 0,03529 \text{ моль}
]
Теперь рассчитаем количество атомов алюминия. В одной формульной единице Al₂O₃ два атома алюминия, поэтому:
[
\text{количество алюминия} = 0,03529 \text{ моль} \times 2 \approx 0,07058 \text{ моль}
]
Для нахождения количества атомов используем число Авогадро ((N_A \approx 6,022 \cdot 10^{23} , \text{моль}^{-1})):
[
\text{количество атомов Al} = 0,07058 \text{ моль} \times 6,022 \cdot 10^{23} \approx 4,24 \cdot 10^{22} \text{ атомов}
]
Шаг 3: Определение количества атомов хрома
Соотношение атомов алюминия к атомам хрома равно 97 к 3. Обозначим количество атомов хрома через (x):
[
\frac{\text{количество атомов Al}}{\text{количество атомов Cr}} = \frac{97}{3}
]
Итак, у нас получается:
[
\frac{4,24 \cdot 10^{22}}{x} = \frac{97}{3}
]
Решение этого уравнения:
[
3 \cdot 4,24 \cdot 10^{22} = 97x
]
[
x = \frac{3 \cdot 4,24 \cdot 10^{22}}{97} \approx 1,31 \cdot 10^{22} \text{ атомов Cr}
]
Шаг 4: Определение массы оксида хрома (III)
Каждая формульная единица оксида хрома (Cr₂O₃) содержит 2 атома хрома. Поэтому, чтобы найти, сколько формульных единиц оксида хрома у нас есть, сделаем следующее:
[
\text{количество формул} = \frac{1,31 \cdot 10^{22}}{2} \approx 6,55 \cdot 10^{21} \text{ формул Cr₂O₃}
]
Теперь найдем массу оксида хрома. Молярная масса Cr₂O₃:
- Молярная масса Cr = 52 г/моль
Молярная масса Cr₂O₃:
[
\text{М(Cr₂O₃)} = 2 \cdot 52 + 3 \cdot 16 = 104 + 48 = 152 \text{ г/моль}
]
Теперь мы можем найти массу:
[
\text{масса Cr₂O₃} = 6,55 \cdot 10^{21} \text{ формул} \cdot \frac{1 \text{ моль}}{6,022 \cdot 10^{23} \text{ формул}} \cdot 152 \text{ г/моль}
]
Вычисляем:
[
\text{масса Cr₂O₃} \approx 6,55 \cdot 10^{21} \cdot \frac{152}{6,022 \cdot 10^{23}} \approx 16,17 \text{ г}
]
Шаг 5: Конвертация в миллиграммы
Преобразуем массу в миллиграммы:
[
16,17 \text{ г} = 16170 \text{ мг}
]
Ответ
Таким образом, для получения искусственного рубина нужно сплавить 16170 мг оксида хрома (III) с образцом корунда массой 18 карат.
