Рубин представляет собой кристалл корунда и имеет простейшую формулу Al2O3, в котором некоторое количество атомов алюминия замещено на атомы хрома. Определите массу оксида хрома…

Для решения этой задачи, нам необходимо определить, сколько оксида хрома (III) потребуется для получения искусственного рубина, если массовое соотношение атомов алюминия и хрома должно составлять 97 к 3. Начнем по шагам.

Шаг 1: Перевод каратов в граммы

Зная, что 1 карат равен 0,2 грамма, переведем 18 карат в граммы:

\[ 18 \text{ карат} \times 0,2 \text{ г/карат} = 3,6 \text{ г} \]

Шаг 2: Расчет количества атомов алюминия в образце

Согласно формуле Al₂O₃, один формульный единица содержит 2 атома алюминия и 3 атома кислорода. Рассчитаем количество атомов алюминия в 3,6 г корунда.

Сначала найдем молярную массу корунда (Al₂O₃):

• Молярная масса Al = 27 г/моль
• Молярная масса O = 16 г/моль

Молярная масса Al₂O₃:

\[ \text{М(M)} = 2 \cdot 27 + 3 \cdot 16 = 54 + 48 = 102 \text{ г/моль} \]

Теперь найдем, сколько моль корунда в 3,6 г:

\[ \text{число моль} = \frac{3,6 \text{ г}}{102 \text{ г/моль}} \approx 0,03529 \text{ моль} \]

Теперь рассчитаем количество атомов алюминия. В одной формульной единице Al₂O₃ два атома алюминия, поэтому:

\[ \text{количество алюминия} = 0,03529 \text{ моль} \times 2 \approx 0,07058 \text{ моль} \]

Для нахождения количества атомов используем число Авогадро (\(N_A \approx 6,022 \cdot 10^{23} \, \text{моль}^{-1}\)):

\[ \text{количество атомов Al} = 0,07058 \text{ моль} \times 6,022 \cdot 10^{23} \approx 4,24 \cdot 10^{22} \text{ атомов} \]

Шаг 3: Определение количества атомов хрома

Соотношение атомов алюминия к атомам хрома равно 97 к 3. Обозначим количество атомов хрома через \(x\):

\[ \frac{\text{количество атомов Al}}{\text{количество атомов Cr}} = \frac{97}{3} \]

Итак, у нас получается:

\[ \frac{4,24 \cdot 10^{22}}{x} = \frac{97}{3} \]

Решение этого уравнения:

\[ 3 \cdot 4,24 \cdot 10^{22} = 97x \]

\[ x = \frac{3 \cdot 4,24 \cdot 10^{22}}{97} \approx 1,31 \cdot 10^{22} \text{ атомов Cr} \]

Шаг 4: Определение массы оксида хрома (III)

Каждая формульная единица оксида хрома (Cr₂O₃) содержит 2 атома хрома. Поэтому, чтобы найти, сколько формульных единиц оксида хрома у нас есть, сделаем следующее:

\[ \text{количество формул} = \frac{1,31 \cdot 10^{22}}{2} \approx 6,55 \cdot 10^{21} \text{ формул Cr₂O₃} \]

Теперь найдем массу оксида хрома. Молярная масса Cr₂O₃:

• Молярная масса Cr = 52 г/моль

Молярная масса Cr₂O₃:

\[ \text{М(Cr₂O₃)} = 2 \cdot 52 + 3 \cdot 16 = 104 + 48 = 152 \text{ г/моль} \]

Теперь мы можем найти массу:

\[ \text{масса Cr₂O₃} = 6,55 \cdot 10^{21} \text{ формул} \cdot \frac{1 \text{ моль}}{6,022 \cdot 10^{23} \text{ формул}} \cdot 152 \text{ г/моль} \]

Вычисляем:

\[ \text{масса Cr₂O₃} \approx 6,55 \cdot 10^{21} \cdot \frac{152}{6,022 \cdot 10^{23}} \approx 16,17 \text{ г} \]

Шаг 5: Конвертация в миллиграммы

Преобразуем массу в миллиграммы:

\[ 16,17 \text{ г} = 16170 \text{ мг} \]

Ответ

Таким образом, для получения искусственного рубина нужно сплавить 16170 мг оксида хрома (III) с образцом корунда массой 18 карат.