Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Дано:
Каждый четвёртый взрослый житель города является клиентом банка АВС.
Это означает, что вероятность того, что случайный житель является клиентом банка, равна:
[
P(Клиент) = \frac{1}{4} = 0.25
]
Среди клиентов банка 45% женщины. Это означает, что вероятность того, что случайный клиент - женщина, равна:
[
P(Женщина | Клиент) = 0.45
]
Необходимые выводы:
Мы хотим найти вероятность того, что случайно выбранный мужчина из города не является клиентом банка АВС. Для этого мы используем следующие обозначения:
- ( M ) — мужчина
- ( K ) — клиент банка АВС
Нам нужно найти ( P(\bar{K} | M) ), где ( \bar{K} ) — событие "не является клиентом банка АВС".
Шаг 1: Используем правило полной вероятности
Сначала найдем вероятность того, что случайный житель является мужчиной:
Для этого определим долю мужчин среди всех жителей:
- Пусть доля мужчин в городе равна ( P(M) = 1 - P(Женщина) ).
- Поскольку 45% клиентов – женщины, найдем долю женщин среди всех жителей:
[
P(Женщина) = P(Женщина | Клиент) \times P(Клиент) + P(Женщина | \bar{Клиент}) \times P(\bar{Клиент})
]
Здесь ( P(\bar{Клиент}) = 1 - P(Клиент) = 0.75 ). Поскольку событие "горожанин - женщина" и событие "горожанин - клиент банка" независимы, можно заключить, что:
[
P(Женщина | \bar{Клиент}) = P(Женщина) = P(Женщина | Клиент)
]
Таким образом, мы имеем:
[
P(Женщина) = 0.45 \times 0.25 + P(Женщина | \bar{Клиент}) \times 0.75
]
Подставим:
[
P(Женщина) = 0.45 \times 0.25 + (P(Женщина) \times 0.75)
]
Шаг 2: Очевидно, что проще вычислить долю мужчин
Пусть ( P(Женщина) = p ).
Тогда:
[
p = 0.1125 + 0.75(1 - p)
]
Объединим:
[
p + 0.75p = 0.1125 + 0.75
]
[
1.75p = 0.8625 \implies p = \frac{0.8625}{1.75} \approx 0.492857
]
Таким образом, доля женщин в городе составляет около 49.29%. Поэтому доля мужчин:
[
P(M) = 1 - P(Женщина) \approx 1 - 0.492857 \approx 0.507143
]
Шаг 3: Находим вероятность
Теперь найдем вероятность того, что мужчина не клиент банка:
[
P(\bar{K}) = 1 - P(K) = 1 - 0.25 = 0.75
]
Шаг 4: Находим итоговую вероятность
Теперь мы ищем вероятность того, что случайно выбранный мужчина не является клиентом банка:
[
P(\bar{K} | M) = \frac{P(\bar{K} \cap M)}{P(M)}
]
Где:
- ( P(\bar{K} \cap M) ) — это вероятность, что случайный человек не является клиентом банка и является мужчиной, что эквивалентно вероятности того, что он просто не клиент:
[
P(\bar{K}) = 0.75
]
Итак,
[
P(\bar{K} | M) = \frac{0.75 \cdot P(M)}{P(M)}
]
Поскольку ( P(M) ) сокращается, получается:
[
P(\bar{K} | M) = 0.75
]
Ответ:
Вероятность того, что случайно выбранный мужчина из этого города не является клиентом банка АВС, составляет 0.75 или 75%.
