Чтобы решить задачу, начнем с того, что определим все монеты, которые есть у Кати, и затем посчитаем количество способов, которыми можно достать три монеты, а также количество подходящих вариантов, чтобы сумма этих монет составила не менее 23 рубля.
Шаг 1: Определение набора монет
У Кати в кармане:
- 3 монеты по 10 рублей
- 2 монеты по 5 рублей
- 2 монеты по 2 рубля
Итак, у нас всего 7 монет: 3 по 10 руб, 2 по 5 руб, 2 по 2 руб.
Шаг 2: Общее количество способов выбрать 3 монеты из 7
Это можно посчитать с помощью сочетаний. Общее количество способов выбрать 3 монеты из 7 вычисляется по формуле сочетаний:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
Где:
- ( n ) — общее количество предметов (в нашем случае 7),
- ( k ) — количество выбираемых предметов (в нашем случае 3).
Подставляя значения, получаем:
[
C(7, 3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35
]
Таким образом, общее количество способов выбрать 3 монеты — 35.
Шаг 3: Определение благоприятных исходов
Теперь определим, какие наборы монет из трех штук в сумме дают 23 рубля или больше.
3 монеты по 10 рублей:
- Сумма = 30 рублей — подходит.
- Количество способов = 1 (только один набор сразу).
2 монеты по 10 рублей и 1 монета по 5 рублей:
- Сумма = 25 рублей — подходит.
- Количество способов = ( C(3, 2) \cdot C(2, 1) = 3 \cdot 2 = 6 ).
2 монеты по 10 рублей и 1 монета по 2 рубля:
- Сумма = 24 рубля — подходит.
- Количество способов = ( C(3, 2) \cdot C(2, 1) = 3 \cdot 2 = 6 ).
1 монета по 10 рублей и 2 монеты по 5 рублей:
- Сумма = 20 рублей — не подходит.
1 монета по 10 рублей, 1 монета по 5 рублей и 1 монета по 2 рубля:
- Сумма = 17 рублей — не подходит.
1 монета по 10 рублей и 2 монеты по 2 рубля:
- Сумма = 14 рублей — не подходит.
3 монеты по 5 рублей:
- Сумма = 15 рублей — не подходит.
1 монета по 5 рублей и 2 монеты по 2 рубля:
- Сумма = 9 рублей — не подходит.
3 монеты по 2 рубля:
- Сумма = 6 рублей — не подходит.
Итак, у нас получается следующие подходящие исходы:
- 3 по 10 рублей: 1 способ
- 2 по 10 и 1 по 5: 6 способов
- 2 по 10 и 1 по 2: 6 способов
Суммируем благоприятные исходы:
Всего благоприятных исходов = 1 + 6 + 6 = 13.
Шаг 4: Подсчет вероятности
Теперь можем посчитать вероятность того, что сумма выбранных монет будет равна 23 рублям или больше:
[
P = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество способов выбрать 3 монеты}} = \frac{13}{35}
]
Таким образом, вероятность того, что сумма монет, которые Катя достала, будет хватать на мороженое, составляет (\frac{13}{35}).
Если перевести эту вероятность в десятичный вид, примерно получится 0.371 или 37.1%.
