Найдите координаты точки, принадлежащей оси абсцисс и равноуда- лённой от точек А (-1; 4) и В (5; 2). (с формулами и понятным объяснением)

Для решения задачи найдем координаты точки, которая принадлежит оси абсцисс и равноудалена от двух заданных точек A (-1; 4) и B (5; 2).

Шаг 1: Понимание оси абсцисс

Точка, находящаяся на оси абсцисс, имеет вид (x; 0), где y = 0. Это значит, что нам нужно найти x, такую чтобы точка (x; 0) находилась на одинаковом расстоянии как от точки A, так и от точки B.

Шаг 2: Формула расстояния

Расстояние между двумя точками \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) в координатной плоскости можно вычислить по формуле: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Шаг 3: Составление уравнения

Для нашей задачи нужно, чтобы расстояние от точки (x; 0) до точки A (-1; 4) было равно расстоянию от точки (x; 0) до точки B (5; 2). Запишем это условие:

\[ \sqrt{(x - (-1))^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{(x - 5)^2 + (0 - 2)^2} \]

Упрощаем уравнение:

1. Сначала обрабатываем расстояние до точки A: \[ \sqrt{(x + 1)^2 + 4^2} = \sqrt{(x + 1)^2 + 16} \]

2. Далее обрабатываем расстояние до точки B: \[ \sqrt{(x - 5)^2 + 2^2} = \sqrt{(x - 5)^2 + 4} \]

Теперь у нас есть уравнение: \[ \sqrt{(x + 1)^2 + 16} = \sqrt{(x - 5)^2 + 4} \]

Шаг 4: Убираем корни

Чтобы избавиться от квадратных корней, возведем обе стороны в квадрат: \[ (x + 1)^2 + 16 = (x - 5)^2 + 4 \]

Шаг 5: Раскрытие скобок

Теперь раскроем скобки: \[ x^2 + 2x + 1 + 16 = x^2 - 10x + 25 + 4 \] Упрощаем это уравнение: \[ x^2 + 2x + 17 = x^2 - 10x + 29 \]

Шаг 6: Перенос всех членов в одну сторону

Убираем \( x^2 \) с обеих сторон: \[ 2x + 17 = -10x + 29 \] Теперь перекинем все x в одну сторону и константы в другую: \[ 2x + 10x = 29 - 17 \] \[ 12x = 12 \]

Шаг 7: Решаем уравнение

Делим обе стороны на 12: \[ x = 1 \]

Шаг 8: Проверка

Теперь мы нашли x = 1. Подставим это значение обратно в формулы расстояния, чтобы убедиться, что расстояния одинаковы:

1. Расстояние от (1; 0) до A (-1; 4): \[ d_A = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{(2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]

2. Расстояние от (1; 0) до B (5; 2): \[ d_B = \sqrt{(1 - 5)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]

Оба расстояния равны, значит, полученное значение верно.

Ответ

Координаты точки, принадлежащей оси абсцисс и равноудалённой от точек A и B, равны \( (1; 0) \).