Найди сумму первых восемнадцати членов арифметической прогрессии, если а10= -5,3; а22 = 17,5.
Для нахождения суммы первых восемнадцати членов арифметической прогрессии, сначала найдем первый член \( a_1 \) и разность прогрессии \( d \).
Известно:
- \( a_{10} = a_1 + 9d = -5.3 \)
- \( a_{22} = a_1 + 21d = 17.5 \)
Запишем систему уравнений:
- \( a_1 + 9d = -5.3 \)
- \( a_1 + 21d = 17.5 \)
Вычтем первое уравнение из второго:
\[ (a_1 + 21d) - (a_1 + 9d) = 17.5 - (-5.3) \]
Это упростится до:
\[ 12d = 17.5 + 5.3 \] \[ 12d = 22.8 \] \[ d = \frac{22.8}{12} = 1.9 \]
Теперь подставим значение \( d \) в первое уравнение для нахождения \( a_1 \):
\[ a_1 + 9 \cdot 1.9 = -5.3 \] \[ a_1 + 17.1 = -5.3 \] \[ a_1 = -5.3 - 17.1 = -22.4 \]
Теперь у нас есть первый член \( a_1 = -22.4 \) и разность \( d = 1.9 \).
Сумма первых \( n \) членов арифметической прогрессии рассчитывается по формуле:
\[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \]
Чтобы найти \( a_{18} \):
\[ a_{18} = a_1 + 17d = -22.4 + 17 \cdot 1.9 = -22.4 + 32.3 = 9.9 \]
Теперь можем найти сумму первых восемнадцати членов:
\[ S_{18} = \frac{18}{2} (a_1 + a_{18}) = 9 \cdot (-22.4 + 9.9) = 9 \cdot (-12.5) = -112.5 \]
Итак, сумма первых восемнадцати членов арифметической прогрессии равна \( -112.5 \).
