укажите наименьшее целое значение переменной х при котором значение выражения (x-2)(x-3)+(4-x)(x-2) отрицательное

Решим неравенство:

\[(x-2)(x-3) + (4-x)(x-2) < 0.\]

Сначала упростим это выражение.

1. Раскроем скобки: \[ (x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6, \] \[ (4-x)(x-2) = 4x - 8 - x^2 + 2x = -x^2 + 6x - 8. \]

2. Сложим оба выражения: \[ x^2 - 5x + 6 - x^2 + 6x - 8 = (x^2 - x^2) + (-5x + 6x) + (6 - 8). \] Это дает: \[ x - 2. \]

Теперь неравенство принимает вид: \[ x - 2 < 0. \]

Решим его: \[ x < 2. \]

Наименьшее целое значение переменной \(x\), при котором данное выражение отрицательно, это \(1\).

Ответ: \(\boxed{1}\).