Решите графически уравнение x ²-2x-8=0
Чтобы решить уравнение \( x^2 - 2x - 8 = 0 \) графически, мы сначала найдем его корни и затем построим график соответствующей функции.
Шаг 1: Преобразование уравнения
Мы можем переписать уравнение в стандартной форме:
\[ f(x) = x^2 - 2x - 8. \]
Шаг 2: Найти корни уравнения
Чтобы решить уравнение \( f(x) = 0 \), мы можем воспользоваться формулой квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]
где \( a = 1 \), \( b = -2 \), и \( c = -8 \).
Подсчёт дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36. \]
Найдем корни:
Теперь подставим значения в формулу:
\[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 6}{2}. \]
Теперь вычислим два возможных значения для \( x \):
- \( x_1 = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
- \( x_2 = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \)
Итак, корни уравнения - \( x_1 = 4 \) и \( x_2 = -2 \).
Шаг 3: Построение графика функции
Теперь, когда мы знаем корни уравнения, можем построить график функции \( f(x) = x^2 - 2x - 8 \).
Определение точек для графика:
- Координаты корней: \( (4, 0) \), \( (-2, 0) \)
- Выберите дополнительные точки, чтобы уточнить график:
Для \( x = 0 \): \[ f(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 - 8 = -8. \] Точка: \( (0, -8) \).
Для \( x = 1 \): \[ f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 - 8 = 1 - 2 - 8 = -9. \] Точка: \( (1, -9) \).
Для \( x = 3 \): \[ f(3) = 3^2 - 2 \cdot 3 - 8 = 9 - 6 - 8 = -5. \] Точка: \( (3, -5) \).
Для \( x = -3 \): \[ f(-3) = (-3)^2 - 2 \cdot (-3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7. \] Точка: \( (-3, 7) \).
Шаг 4: Построение графика
- На координатной плоскости нарисуйте оси \( x \) и \( y \).
- Отметьте найденные точки: \( (4, 0) \), \( (-2, 0) \), \( (0, -8) \), \( (1, -9) \), \( (3, -5) \), и \( (-3, 7) \).
- Соедините точки плавной параболической кривой.
График будет открываться вверх, так как коэффициент при \( x^2 \) положителен.
Заключение
Графически уравнение \( x^2 - 2x - 8 = 0 \) имеет два корня: \( x = 4 \) и \( x = -2 \), где кривая пересекает ось \( x \).
