Решите графически уравнение x ²-2x-8=0

Чтобы решить уравнение \( x^2 - 2x - 8 = 0 \) графически, мы сначала найдем его корни и затем построим график соответствующей функции. ### Шаг 1: Преобразование уравнения Мы можем переписать уравнение в стандартной форме: \[ f(x) = x^2 - 2x - 8. \] ### Шаг 2: Найти корни уравнения Чтобы решить уравнение \( f(x) = 0 \), мы можем воспользоваться формулой квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] где \( a = 1 \), \( b = -2 \), и \( c = -8 \). #### Подсчёт дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36. \] #### Найдем корни: Теперь подставим значения в формулу: \[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 6}{2}. \] Теперь вычислим два возможных значения для \( x \): 1. \( x_1 = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) 2. \( x_2 = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \) Итак, корни уравнения - \( x_1 = 4 \) и \( x_2 = -2 \). ### Шаг 3: Построение графика функции Теперь, когда мы знаем корни уравнения, можем построить график функции \( f(x) = x^2 - 2x - 8 \). #### Определение точек для графика: 1. **Координаты корней:** \( (4, 0) \), \( (-2, 0) \) 2. **Выберите дополнительные точки, чтобы уточнить график:** - Для \( x = 0 \): \[ f(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 - 8 = -8. \] Точка: \( (0, -8) \). - Для \( x = 1 \): \[ f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 - 8 = 1 - 2 - 8 = -9. \] Точка: \( (1, -9) \). - Для \( x = 3 \): \[ f(3) = 3^2 - 2 \cdot 3 - 8 = 9 - 6 - 8 = -5. \] Точка: \( (3, -5) \). - Для \( x = -3 \): \[ f(-3) = (-3)^2 - 2 \cdot (-3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7. \] Точка: \( (-3, 7) \). ### Шаг 4: Построение графика 1. На координатной плоскости нарисуйте оси \( x \) и \( y \). 2. Отметьте найденные точки: \( (4, 0) \), \( (-2, 0) \), \( (0, -8) \), \( (1, -9) \), \( (3, -5) \), и \( (-3, 7) \). 3. Соедините точки плавной параболической кривой. График будет открываться вверх, так как коэффициент при \( x^2 \) положителен. ### Заключение Графически уравнение \( x^2 - 2x - 8 = 0 \) имеет два корня: \( x = 4 \) и \( x = -2 \), где кривая пересекает ось \( x \).