Для решения данной задачи найдем массу оксида хрома (III), который необходимо добавить к образцу корунда, чтобы получить искусственный рубин с заданным соотношением атомов алюминия и хрома.
Шаг 1: Перевод массы корунда из карат в граммы
Масса корунда задана в каратах (18 карат). Зная, что 1 карата = 0,2 г, мы можем вычислить массу корунда в граммах:
[
\text{Масса корунда (г)} = 18 , \text{карат} \times 0,2 , \text{г/карат} = 3,6 , \text{г}
]
Шаг 2: Определение количества атомов алюминия и хрома
Рассмотрим, что для получения искусственного рубина с соотношением атомов алюминия к атомам хрома 97:3, мы можем обозначить количество атомов алюминия как ( n_{\text{Al}} ) и количество атомов хрома как ( n_{\text{Cr}} ).
Изначально у нас есть в корунде только алюминий, поэтому мы имеем:
[
\frac{n_{\text{Al}}}{n_{\text{Cr}}} = \frac{97}{3}
]
Обозначим ( n_{\text{Cr}} = x ). Тогда:
[
n_{\text{Al}} = \frac{97}{3} x
]
Шаг 3: Определение массы алюминия в корунде
Чтобы вычислить массу алюминия в корунде, нам необходимо знать количество алюминия в 3,6 г корунда. В формуле Al₂O₃ содержатся 2 атома алюминия на 3 атома кислорода.
Молярная масса Al₂O₃:
- Молярная масса алюминия (Al) ≈ 27 г/моль
- Молярная масса кислорода (O) ≈ 16 г/моль
- Молярная масса Al₂O₃ ≈ ( 2 \times 27 + 3 \times 16 = 54 + 48 = 102 , \text{г/моль} )
Теперь можно найти количество моль Al₂O₃ в корунде:
[
n_{\text{Al}_2\text{O}_3} = \frac{3,6 , \text{г}}{102 , \text{г/моль}} \approx 0,0353 , \text{моль}
]
Шаг 4: Находим количество атомов алюминия
Количество атомов алюминия в Al₂O₃:
[
n_{\text{Al}} = 2 \times n_{\text{Al}_2\text{O}_3} = 2 \times 0,0353 , \text{моль} \approx 0,0706 , \text{моль}
]
Шаг 5: Определение количества атомов хрома
Так как (\frac{n_{\text{Al}}}{n_{\text{Cr}}} = \frac{97}{3}):
[
n_{\text{Cr}} = \frac{3}{97} n_{\text{Al}} \approx \frac{3}{97} \times 0,0706 \approx 0,00218 , \text{моль}
]
Шаг 6: Находим массу оксида хрома (III)
Молярная масса оксида хрома (III) (Cr₂O₃):
- Молярная масса хрома (Cr) ≈ 52 г/моль
- Молярная масса Cr₂O₃ ≈ ( 2 \times 52 + 3 \times 16 = 104 + 48 = 152 , \text{г/моль} )
Теперь найдем массу оксида хрома, необходимую для сплавления:
[
m_{\text{Cr}2\text{O}3} = n{\text{Cr}} \times M{\text{Cr}_2\text{O}_3} \approx 0,00218 , \text{моль} \times 152 , \text{г/моль} \approx 0,331 , \text{г}
]
Шаг 7: Перевод массы в миллиграммы
Для окончательного ответа переведем массу в миллиграммы:
[
m_{\text{Cr}_2\text{O}_3} = 0,331 , \text{г} \times 1000 \approx 331 , \text{мг}
]
Ответ
Масса оксида хрома (III), необходимая для получения искусственного рубина, составляет 331 мг.
