Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не собьёт её. Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна р=0,5 Сколько патронов должен иметь стрелок перед…

Для решения этой задачи мы можем использовать понятие вероятности и формулу для нахождения сопутствующей вероятности.

Шаг 1: Понять задачу

У нас имеется стрелок, который стреляет по мишени, и вероятность попадания при каждом выстреле \( p = 0,5 \). Это означает, что с каждым выстрелом стрелок имеет 50% шанс попасть в мишень.

Задача состоит в том, чтобы узнать, сколько выстрелов необходимо сделать стрелку, чтобы вероятность того, что он сбьёт мишень, была не менее 0,8.

Шаг 2: Определить вероятность неудачи

Вероятность того, что стрелок промахнётся в одном выстреле, будет равна:

\[ q = 1 - p = 1 - 0,5 = 0,5 \]

Если стрелок сделает \( n \) выстрелов, то вероятность того, что он не попадёт ни разу (то есть все выстрелы будут промахами), будет равна:

\[ P(\text{промахи}) = q^n = 0,5^n \]

Шаг 3: Использовать сопутствующую вероятность

Вероятность того, что стрелок хотя бы один раз попадёт в мишень (то есть хотя бы одна удача) равна:

\[ P(\text{хотя бы одно попадание}) = 1 - P(\text{промахи}) = 1 - 0,5^n \]

Шаг 4: Установить неравенство для нахождения \( n \)

Нам нужно, чтобы эта вероятность была не менее 0,8:

\[ 1 - 0,5^n \geq 0,8 \]

Шаг 5: Решить неравенство

Перепишем неравенство:

\[ 0,5^n \leq 0,2 \]

Теперь примем логарифмы обеих сторон, чтобы решить для \( n \):

\[ \log(0,5^n) \leq \log(0,2) \]

Используя свойство логарифмов, получаем:

\[ n \cdot \log(0,5) \leq \log(0,2) \]

Зная, что \( \log(0,5) < 0 \), можно разделить обе стороны на это значение, изменив знак неравенства:

\[ n \geq \frac{\log(0,2)}{\log(0,5)} \]

Шаг 6: Рассчитать значения логарифмов

Для удобства рассчитаем логарифмы:

• \( \log(0,2) \approx -0,69897 \)
• \( \log(0,5) \approx -0,30103 \)

Теперь подставим значения:

\[ n \geq \frac{-0,69897}{-0,30103} \approx 2,32 \]

Шаг 7: Округлить значение

Так как количество выстрелов \( n \) должно быть целым числом, мы должны округлить до большего значения:

\[ n = 3 \]

Ответ:

Стрелок должен иметь по крайней мере 3 патрона, чтобы иметь вероятность поразить мишень не менее 0,8.