Для решения этой задачи мы можем использовать понятие вероятности и формулу для нахождения сопутствующей вероятности.
Шаг 1: Понять задачу
У нас имеется стрелок, который стреляет по мишени, и вероятность попадания при каждом выстреле ( p = 0,5 ). Это означает, что с каждым выстрелом стрелок имеет 50% шанс попасть в мишень.
Задача состоит в том, чтобы узнать, сколько выстрелов необходимо сделать стрелку, чтобы вероятность того, что он сбьёт мишень, была не менее 0,8.
Шаг 2: Определить вероятность неудачи
Вероятность того, что стрелок промахнётся в одном выстреле, будет равна:
[
q = 1 - p = 1 - 0,5 = 0,5
]
Если стрелок сделает ( n ) выстрелов, то вероятность того, что он не попадёт ни разу (то есть все выстрелы будут промахами), будет равна:
[
P(\text{промахи}) = q^n = 0,5^n
]
Шаг 3: Использовать сопутствующую вероятность
Вероятность того, что стрелок хотя бы один раз попадёт в мишень (то есть хотя бы одна удача) равна:
[
P(\text{хотя бы одно попадание}) = 1 - P(\text{промахи}) = 1 - 0,5^n
]
Шаг 4: Установить неравенство для нахождения ( n )
Нам нужно, чтобы эта вероятность была не менее 0,8:
[
1 - 0,5^n \geq 0,8
]
Шаг 5: Решить неравенство
Перепишем неравенство:
[
0,5^n \leq 0,2
]
Теперь примем логарифмы обеих сторон, чтобы решить для ( n ):
[
\log(0,5^n) \leq \log(0,2)
]
Используя свойство логарифмов, получаем:
[
n \cdot \log(0,5) \leq \log(0,2)
]
Зная, что ( \log(0,5) < 0 ), можно разделить обе стороны на это значение, изменив знак неравенства:
[
n \geq \frac{\log(0,2)}{\log(0,5)}
]
Шаг 6: Рассчитать значения логарифмов
Для удобства рассчитаем логарифмы:
- ( \log(0,2) \approx -0,69897 )
- ( \log(0,5) \approx -0,30103 )
Теперь подставим значения:
[
n \geq \frac{-0,69897}{-0,30103} \approx 2,32
]
Шаг 7: Округлить значение
Так как количество выстрелов ( n ) должно быть целым числом, мы должны округлить до большего значения:
[
n = 3
]
Ответ:
Стрелок должен иметь по крайней мере 3 патрона, чтобы иметь вероятность поразить мишень не менее 0,8.
