Выручка магазина электроники и бытовой техники за день является величиной, случайно распределённой по нормальному закону. Среднее значение: 80000 руб.; среднее квадратическое…

Для решения этой задачи воспользуемся неравенством Чебышева, которое позволяет оценить вероятность отклонения случайной величины от её математического ожидания.

В нашей задаче:

• Среднее значение (математическое ожидание) \( \mu = 80000 \) руб.
• Среднее квадратическое отклонение \( \sigma = 7000 \) руб.

Мы хотим найти вероятность того, что выручка магазина \( X \) находится в диапазоне от 65000 руб. до 95000 руб., то есть:

\[ P(65000 \leq X \leq 95000) \]

Для применения неравенства Чебышева необходимо определить, насколько отклоняются значения 65000 и 95000 от среднего значения. Мы начнем с вычисления количества стандартных отклонений от среднего в каждом случае:

1. Нижняя граница: 65000 руб.

\[ k_1 = \frac{|\mu - 65000|}{\sigma} = \frac{|80000 - 65000|}{7000} = \frac{15000}{7000} \approx 2.14 \]

2. Верхняя граница: 95000 руб.

\[ k_2 = \frac{|95000 - \mu|}{\sigma} = \frac{|95000 - 80000|}{7000} = \frac{15000}{7000} \approx 2.14 \]

Теперь определим наименьшее значение \( k \) для обоих краев интервала. В данном случае, так как оба значения \( k_1 \) и \( k_2 \) равны, мы возьмем:

\[ k = 2.14 \]

Согласно неравенству Чебышева, вероятность того, что случайная величина отклоняется от среднего значения более чем на \( k \) стандартных отклонений, не превышает \( \frac{1}{k^2} \):

\[ P(|X - \mu| < k\sigma) \geq 1 - \frac{1}{k^2} \]

В нашем случае:

\[ P(|X - 80000| < 2.14 \times 7000) \geq 1 - \frac{1}{(2.14)^2} \]

Посчитаем \( \frac{1}{(2.14)^2} \):

\[ (2.14)^2 \approx 4.58 \\ \frac{1}{4.58} \approx 0.2183 \]

Теперь находим вероятность:

\[ P(65000 \leq X \leq 95000) \geq 1 - 0.2183 = 0.7817 \]

Округляем до сотых:

\[ P(65000 \leq X \leq 95000) \geq 0.78 \]

Таким образом, вероятность того, что выручка магазина за день будет в пределах от 65000 руб. до 95000 руб., составляет приблизительно 0.78 или 78%.