Для решения этой задачи воспользуемся неравенством Чебышева, которое позволяет оценить вероятность отклонения случайной величины от её математического ожидания.
В нашей задаче:
- Среднее значение (математическое ожидание) ( \mu = 80000 ) руб.
- Среднее квадратическое отклонение ( \sigma = 7000 ) руб.
Мы хотим найти вероятность того, что выручка магазина ( X ) находится в диапазоне от 65000 руб. до 95000 руб., то есть:
[
P(65000 \leq X \leq 95000)
]
Для применения неравенства Чебышева необходимо определить, насколько отклоняются значения 65000 и 95000 от среднего значения. Мы начнем с вычисления количества стандартных отклонений от среднего в каждом случае:
- Нижняя граница: 65000 руб.
[
k_1 = \frac{|\mu - 65000|}{\sigma} = \frac{|80000 - 65000|}{7000} = \frac{15000}{7000} \approx 2.14
]
- Верхняя граница: 95000 руб.
[
k_2 = \frac{|95000 - \mu|}{\sigma} = \frac{|95000 - 80000|}{7000} = \frac{15000}{7000} \approx 2.14
]
Теперь определим наименьшее значение ( k ) для обоих краев интервала. В данном случае, так как оба значения ( k_1 ) и ( k_2 ) равны, мы возьмем:
[
k = 2.14
]
Согласно неравенству Чебышева, вероятность того, что случайная величина отклоняется от среднего значения более чем на ( k ) стандартных отклонений, не превышает ( \frac{1}{k^2} ):
[
P(|X - \mu| < k\sigma) \geq 1 - \frac{1}{k^2}
]
В нашем случае:
[
P(|X - 80000| < 2.14 \times 7000) \geq 1 - \frac{1}{(2.14)^2}
]
Посчитаем ( \frac{1}{(2.14)^2} ):
[
(2.14)^2 \approx 4.58 \
\frac{1}{4.58} \approx 0.2183
]
Теперь находим вероятность:
[
P(65000 \leq X \leq 95000) \geq 1 - 0.2183 = 0.7817
]
Округляем до сотых:
[
P(65000 \leq X \leq 95000) \geq 0.78
]
Таким образом, вероятность того, что выручка магазина за день будет в пределах от 65000 руб. до 95000 руб., составляет приблизительно 0.78 или 78%.
