Чтобы найти (\tg^2 \beta), начнем с данного уравнения:
[ 5\cos^2\beta - 2\sin^2\beta = 3. ]
Используем тригонометрическое тождество (\cos^2\beta = 1 - \sin^2\beta). Подставим это в уравнение:
[ 5(1 - \sin^2\beta) - 2\sin^2\beta = 3. ]
Раскроем скобки:
[ 5 - 5\sin^2\beta - 2\sin^2\beta = 3. ]
Объединим слагаемые с (\sin^2\beta):
[ 5 - 7\sin^2\beta = 3. ]
Перенесем 5 в правую часть:
[ -7\sin^2\beta = 3 - 5. ]
Это упростится до:
[ -7\sin^2\beta = -2. ]
Умножим обе стороны на -1:
[ 7\sin^2\beta = 2. ]
Разделим обе стороны на 7:
[ \sin^2\beta = \frac{2}{7}. ]
Поскольку (\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1), то:
[ \cos^2\beta = 1 - \sin^2\beta = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}. ]
Теперь найдем (\tg^2\beta = \frac{\sin^2\beta}{\cos^2\beta}):
[ \tg^2\beta = \frac{\frac{2}{7}}{\frac{5}{7}} = \frac{2}{5}. ]
Таким образом, (\tg^2 \beta = \frac{2}{5}).
