И

Чтобы найти \(\tg^2 \beta\), начнем с данного уравнения:

\[ 5\cos^2\beta - 2\sin^2\beta = 3. \]

Используем тригонометрическое тождество \(\cos^2\beta = 1 - \sin^2\beta\). Подставим это в уравнение:

\[ 5(1 - \sin^2\beta) - 2\sin^2\beta = 3. \]

Раскроем скобки:

\[ 5 - 5\sin^2\beta - 2\sin^2\beta = 3. \]

Объединим слагаемые с \(\sin^2\beta\):

\[ 5 - 7\sin^2\beta = 3. \]

Перенесем 5 в правую часть:

\[ -7\sin^2\beta = 3 - 5. \]

Это упростится до:

\[ -7\sin^2\beta = -2. \]

Умножим обе стороны на -1:

\[ 7\sin^2\beta = 2. \]

Разделим обе стороны на 7:

\[ \sin^2\beta = \frac{2}{7}. \]

Поскольку \(\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1\), то:

\[ \cos^2\beta = 1 - \sin^2\beta = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}. \]

Теперь найдем \(\tg^2\beta = \frac{\sin^2\beta}{\cos^2\beta}\):

\[ \tg^2\beta = \frac{\frac{2}{7}}{\frac{5}{7}} = \frac{2}{5}. \]

Таким образом, \(\tg^2 \beta = \frac{2}{5}\).