Медиана АМ треугольника АВС равна половине стороны ВС. Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.

Давайте разберем задачу, шаг за шагом. **Дано:** - В треугольнике \( ABC \) медиана \( AM \) равна половине стороны \( BC \) (где \( M \) — это середина стороны \( BC \)). **Нужно доказать:** - Треугольник \( ABC \) является прямоугольным. **Решение:** 1. **Понимание термина "медиана":** Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В нашем случае \( AM \) — это медиана, соединяющая вершину \( A \) с точкой \( M \) (серединой отрезка \( BC \)). 2. **Запись условия:** Условие говорит, что: \[ AM = \frac{1}{2}BC \] 3. **Используем теорему о медианах:** Известно, что длина медианы \( m_a \) в треугольнике можно вычислить по формуле: \[ m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} \] где \( a, b, c \) — это длины сторон треугольника, а \( m_a \) — длина медианы, проведенной на сторону \( a \). В нашем случае \( a = BC \), \( b = AC \), \( c = AB \). Подставляя в формулу для медианы \( AM \): \[ AM = \frac{1}{2} \sqrt{2AC^2 + 2AB^2 - BC^2} \] 4. **Таким образом, у нас есть:** \[ \frac{1}{2} \sqrt{2AC^2 + 2AB^2 - BC^2} = \frac{1}{2} BC \] Умножив обе стороны на 2 и избавившись от дроби, получаем: \[ \sqrt{2AC^2 + 2AB^2 - BC^2} = BC \] 5. **Возведение в квадрат:** Теперь возведем обе стороны в квадрат: \[ 2AC^2 + 2AB^2 - BC^2 = BC^2 \] Упрощая, получаем: \[ 2AC^2 + 2AB^2 = 2BC^2 \] 6. **Разделим на 2:** \[ AC^2 + AB^2 = BC^2 \] 7. **Заключение:** Это уравнение \( AC^2 + AB^2 = BC^2 \) соответствует теореме Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Таким образом, треугольник \( ABC \) является прямоугольным, с \( BC \) в роли гипотенузы. **Ответ:** Треугольник \( ABC \) является прямоугольным.