короходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд…
Короходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Чтобы решить задачу, давайте обозначим налоги как функцию от ставки налога на продажу \( x \). Из условия задачи мы знаем, что это квадратичная функция. Таким образом, мы можем представить её в общем виде как:
\[ R(x) = ax^2 + bx + c \]
где \( R(x) \) — это доход от налога, \( x \) — ставка налога, а \( a \), \( b \) и \( c \) — коэффициенты, которые нужно определить.
Ваша задача — найти максимальную величину функции \( R(x) \), что соответствует максимальным поступлениям в бюджет.
Шаг 1: Запишем известные точки
У нас имеются три точки, соответствующие различным ставкам налога и доходам:
- \( R(10) = 1.3 \) (млрд фантиков)
- \( R(33) = 1.3 \) (млрд фантиков)
- \( R(27) = 1.6 \) (млрд фантиков)
Шаг 2: Составим систему уравнений
Мы можем использовать эти три точки, чтобы создать систему уравнений для коэффициентов \( a \), \( b \) и \( c \):
- \( 100a + 10b + c = 1.3 \) \quad (1)
- \( 1089a + 33b + c = 1.3 \) \quad (2)
- \( 729a + 27b + c = 1.6 \) \quad (3)
Шаг 3: Выразим систему
Теперь вычтем (1) из (2) и (3) для упрощения системы:
Вычтем (1) из (2):
\[ (1089a + 33b + c) - (100a + 10b + c) = 0 \] \[ 989a + 23b = 0 \quad (4)\]
Вычтем (1) из (3):
\[ (729a + 27b + c) - (100a + 10b + c) = 0.3 \] \[ 629a + 17b = 0.3 \quad (5)\]
Шаг 4: Решим систему (4) и (5)
Теперь мы имеем два уравнения с двумя неизвестными.
Из уравнения (4) можем выразить \( b \):
\[ b = -\frac{989a}{23} \]
Подставим \( b \) в уравнение (5):
\[ 629a + 17\left(-\frac{989a}{23}\right) = 0.3 \]
Перепишем:
\[ 629a - \frac{16813a}{23} = 0.3 \]
Приведем к общему знаменателю:
\[ \frac{629 \cdot 23a - 16813a}{23} = 0.3 \] \[ \frac{14467a - 16813a}{23} = 0.3 \] \[ -2346a = 0.3 \cdot 23 \] \[ -2346a = 6.9 \] \[ a = -\frac{6.9}{2346} \approx -0.002942 \]
Теперь найдем \( b \):
\[ b = -\frac{989 \cdot (-6.9/2346)}{23} \] \[ b \approx 0.185 \]
Шаг 5: Найдем \( c \)
Теперь подставим найденные \( a \) и \( b \) в любое из начальных уравнений, чтобы найти \( c \). Подставим в (1):
\[ 100(-0.002942) + 10(0.185) + c = 1.3 \] \[ -0.2942 + 1.85 + c = 1.3 \] \[ c = 1.3 - 1.55 \] \[ c = -0.25 \]
Теперь у нас есть все коэффициенты:
\[ R(x) = -0.002942x^2 + 0.185x - 0.25 \]
Шаг 6: Найдем максимум функции
Максимум квадратичной функции достигается в вершине параболы:
\[ x_{\text{max}} = -\frac{b}{2a} \]
Подставим имеющиеся значения:
\[ x_{\text{max}} = -\frac{0.185}{2 \cdot (-0.002942)} \] \[ x_{\text{max}} \approx \frac{0.185}{0.005884} \approx 31.4 \]
Ответ
Ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведет к максимальным поступлениям в бюджет, составляет примерно 31.4%.
