Короходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.

Чтобы решить задачу, давайте обозначим налоги как функцию от ставки налога на продажу \( x \). Из условия задачи мы знаем, что это квадратичная функция. Таким образом, мы можем представить её в общем виде как: \[ R(x) = ax^2 + bx + c \] где \( R(x) \) — это доход от налога, \( x \) — ставка налога, а \( a \), \( b \) и \( c \) — коэффициенты, которые нужно определить. Ваша задача — найти максимальную величину функции \( R(x) \), что соответствует максимальным поступлениям в бюджет. ### Шаг 1: Запишем известные точки У нас имеются три точки, соответствующие различным ставкам налога и доходам: 1. \( R(10) = 1.3 \) (млрд фантиков) 2. \( R(33) = 1.3 \) (млрд фантиков) 3. \( R(27) = 1.6 \) (млрд фантиков) ### Шаг 2: Составим систему уравнений Мы можем использовать эти три точки, чтобы создать систему уравнений для коэффициентов \( a \), \( b \) и \( c \): 1. \( 100a + 10b + c = 1.3 \) \quad (1) 2. \( 1089a + 33b + c = 1.3 \) \quad (2) 3. \( 729a + 27b + c = 1.6 \) \quad (3) ### Шаг 3: Выразим систему Теперь вычтем (1) из (2) и (3) для упрощения системы: Вычтем (1) из (2): \[ (1089a + 33b + c) - (100a + 10b + c) = 0 \] \[ 989a + 23b = 0 \quad (4)\] Вычтем (1) из (3): \[ (729a + 27b + c) - (100a + 10b + c) = 0.3 \] \[ 629a + 17b = 0.3 \quad (5)\] ### Шаг 4: Решим систему (4) и (5) Теперь мы имеем два уравнения с двумя неизвестными. Из уравнения (4) можем выразить \( b \): \[ b = -\frac{989a}{23} \] Подставим \( b \) в уравнение (5): \[ 629a + 17\left(-\frac{989a}{23}\right) = 0.3 \] Перепишем: \[ 629a - \frac{16813a}{23} = 0.3 \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{629 \cdot 23a - 16813a}{23} = 0.3 \] \[ \frac{14467a - 16813a}{23} = 0.3 \] \[ -2346a = 0.3 \cdot 23 \] \[ -2346a = 6.9 \] \[ a = -\frac{6.9}{2346} \approx -0.002942 \] Теперь найдем \( b \): \[ b = -\frac{989 \cdot (-6.9/2346)}{23} \] \[ b \approx 0.185 \] ### Шаг 5: Найдем \( c \) Теперь подставим найденные \( a \) и \( b \) в любое из начальных уравнений, чтобы найти \( c \). Подставим в (1): \[ 100(-0.002942) + 10(0.185) + c = 1.3 \] \[ -0.2942 + 1.85 + c = 1.3 \] \[ c = 1.3 - 1.55 \] \[ c = -0.25 \] Теперь у нас есть все коэффициенты: \[ R(x) = -0.002942x^2 + 0.185x - 0.25 \] ### Шаг 6: Найдем максимум функции Максимум квадратичной функции достигается в вершине параболы: \[ x_{\text{max}} = -\frac{b}{2a} \] Подставим имеющиеся значения: \[ x_{\text{max}} = -\frac{0.185}{2 \cdot (-0.002942)} \] \[ x_{\text{max}} \approx \frac{0.185}{0.005884} \approx 31.4 \] ### Ответ Ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведет к максимальным поступлениям в бюджет, составляет примерно **31.4%**.