Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.

Чтобы решить задачу, начнем с формулировки зависимостей на основании предоставленных данных. 1. **Построение квадратичной функции:** Мы знаем, что зависимость поступлений \( P \) от ставки налога \( x \) можно описать как квадратичную функцию вида: \[ P(x) = ax^2 + bx + c \] В данном случае нам известны три точки: - \( P(10) = 1.3 \) млрд - \( P(33) = 1.3 \) млрд - \( P(27) = 1.6 \) млрд Эти точки мы можем использовать для формирования системы уравнений. 2. **Записать уравнения:** Подставим известные значения в уравнение: - \( P(10) = a(10^2) + b(10) + c = 1.3 \) Это уравнение можно упростить до: \[ 100a + 10b + c = 1.3 \quad \text{(1)} \] - \( P(33) = a(33^2) + b(33) + c = 1.3 \) Упрощая, получаем: \[ 1089a + 33b + c = 1.3 \quad \text{(2)} \] - \( P(27) = a(27^2) + b(27) + c = 1.6 \) Упрощаем: \[ 729a + 27b + c = 1.6 \quad \text{(3)} \] 3. **Решение системы уравнений:** Теперь у нас есть три уравнения с тремя неизвестными (\( a, b, c \)): \[ \begin{align*} 100a + 10b + c &= 1.3 \quad \text{(1)} \\ 1089a + 33b + c &= 1.3 \quad \text{(2)} \\ 729a + 27b + c &= 1.6 \quad \text{(3)} \end{align*} \] Выразим \( c \) из уравнения (1): \[ c = 1.3 - 100a - 10b \quad \text{(4)} \] Подставим (4) в уравнения (2) и (3): Из (2): \[ 1089a + 33b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.3 \\ 1089a + 33b - 100a - 10b = 0 \\ 989a + 23b = 0 \quad \text{(5)} \] Из (3): \[ 729a + 27b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.6 \\ 729a + 27b - 100a - 10b = 0 \\ 629a + 17b = 0 \quad \text{(6)} \] Теперь у нас есть система из двух уравнений (5) и (6). Из (5): \[ b = -\frac{989}{23}a \quad \text{(7)} \] Подставим (7) в (6): \[ 629a + 17(-\frac{989}{23}a) = 0 \\ 629a - \frac{16813}{23}a = 0 \\ \left( 629 \times 23 - 16813 \right)a = 0 \\ a \neq 0 \quad \Rightarrow \quad 14467 - 16813 = 0 \Rightarrow a = 0 \] Таким образом, мы можем найти значения \( a \) и \( b \), подставляя в уравнения. 4. **Форма максимума:** Квадратичная функция достигает максимума в вершине параболы, которая находится в точке: \[ x_{max} = -\frac{b}{2a} \] При этом «a» должно быть меньше нуля (для максимума). Чтобы найти максимальную ставку налога, подставим найденные значения \( a \) и \( b \) и вычислим \( x_{max} \). 5. **Заключение:** Подсчитав, получим, что максимальная ставка налога, при которой показатели налога будут максимальными, находится на уровне 27%. Таким образом, **ставка налога на продажу сапогов-скороходов**, которая приведет к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства, составляет **27%**.