Для задачи о нахождении суммы ( n ) первых членов арифметической прогрессии, сначала выясним, что требуется.
Определение задачи:
Арифметическая прогрессия: ( -2, 3, 8, \ldots )
- Найти сумму 10 её первых членов.
- Найти сумму её первых ( n ) членов.
Краткое объяснение:
Арифметическая прогрессия характеризуется начальным членом ( a_1 ) и разностью ( d ).
- Первый член, ( a_1 ): Это (-2).
- Разность, ( d ): Это разница между вторым и первым членами: ( 3 - (-2) = 5 ).
Формула суммы ( n ) первых членов арифметической прогрессии:
[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1) \cdot d)
]
Шаг 1: Найти сумму 10 первых членов
[
S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (2 \cdot (-2) + (10-1) \cdot 5)
]
[
S_{10} = 5 \cdot (-4 + 45)
]
[
S_{10} = 5 \cdot 41 = 205
]
Шаг 2: Найти сумму ( n ) первых членов
Используем ту же формулу:
[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1) \cdot d)
]
Подставим значения:
[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (2 \cdot (-2) + (n-1) \cdot 5)
]
[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (-4 + 5n - 5)
]
[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (5n - 9)
]
Таким образом, сумма ( n ) первых членов прогрессии выражается как:
[
S_n = \frac{5n^2 - 9n}{2}
]
Это дает общее выражение для суммы первых ( n ) членов прогрессии.
Ответ:
- Сумма 10 первых членов: 205.
- Формула для суммы ( n ) первых членов: (\frac{5n^2 - 9n}{2}).
