Сделать

Для задач из раздела теории графов предоставлю подробные объяснения:

Задача 2: На каких рисунках графы одинаковы?

Графы считаются одинаковыми (или изоморфными) если между их вершинами и рёбрами можно установить такое соответствие (биекцию), что сохраняются связи между вершинами. То есть, если вам удастся перенаправить рёбра так, что один граф станет выглядеть как другой, графы изоморфны.

• Рассмотрим рисунки.

  • Рисунок а: Вершины соединены так, что образуют три отдельных петли.
  • Рисунок б: Вершины соединены, образуя две отдельные петли.
  • Рисунок в: Вершины соединены в один цикл без петлей.

Рассматривая каждый рисунок, видно, что графы а и б имеют разное устроение рёбер и связности. Однако, если верхние три петли и одна петля на втором из них одинаковы, графы на рисунках б и в изоморфны, если рассматривать перекрывающиеся пути. Они образуют один и тот же связный граф.

Задача 3: Изобразите три разных графа, у которых четыре ребра, четыре вершины. Найдите сумму степеней вершин каждого графа.

• Шаг 1: Изобразите графы.

  • Граф 1: Квадрат — каждая вершина соединена с двумя другими, а две противоположные вершины также связаны.
  • Граф 2: Треугольник с ещё одной вершиной внутри, соединённой с одним из углов.
  • Граф 3: Четыре вершины в линию, где крайние соединены с одной внутренней.

• Шаг 2: Найдите степени вершин.

  • В графе:
    • Граф 1: У четырёх вершин степени 2,2,2,2.
    • Граф 2: Степени 3,1,1,1 (у треугольника вершина внутри соединена с одним углом).
    • Граф 3: Степени 2,2,1,1 (крайние соединяются с южной соседней).

• Шаг 3: Посчитайте сумму степеней для каждого графа. Сумма степеней вершин равна удвоенному количеству рёбер.

  • Для каждого графа (4 рёбра): сумма степеней будет 8.

Каждый граф имеет свою структуру, но сумма степеней всегда равна удвоенному числу рёбер.