Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.

Чтобы найти ставку налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведет к максимальным поступлениям в бюджет, будем рассматривать зависимость поступлений от ставки налога как квадратичную функцию. 1. **Обозначим переменные:** Пусть \( x \) — ставка налога (в процентах). Пусть \( y \) — поступления в бюджет (в миллиардах фантиков). 2. **Данные:** Мы знаем три точки с координатами (ставка налога, поступления): - При \( x = 10 \% \), \( y = 1.3 \) - При \( x = 33 \% \), \( y = 1.3 \) - При \( x = 27 \% \), \( y = 1.6 \) 3. **Запишем функциональную зависимость:** Квадратичная функция имеет вид: \[ y = ax^2 + bx + c \] Нам нужно определить коэффициенты \( a \), \( b \), и \( c \). 4. **Систему уравнений:** Подставим известные значения в функцию. Получим три уравнения: - \( 1.3 = a(10)^2 + b(10) + c \) --> (1) - \( 1.3 = a(33)^2 + b(33) + c \) --> (2) - \( 1.6 = a(27)^2 + b(27) + c \) --> (3) Поскольку мы имеем три уравнения и три неизвестных, мы можем решить эту систему для нахождения коэффициентов. 5. **Решение уравнений:** Подставляем данные в уравнения и упрощаем: Уравнение (1): \[ 1.3 = 100a + 10b + c \] Уравнение (2): \[ 1.3 = 1089a + 33b + c \] Уравнение (3): \[ 1.6 = 729a + 27b + c \] Теперь можем выразить \( c \) из первого уравнения: \[ c = 1.3 - 100a - 10b \] Подставляем выражение для \( c \) во второе и третье уравнения и решаем систему. 6. **Решение системы:** Подстановив \( c \) из (1) в (2): \[ 1.3 = 1089a + 33b + (1.3 - 100a - 10b) \\ 0 = 1089a + 33b - 100a - 10b \\ 0 = 989a + 23b \quad (4) \] Теперь подставляем \( c \) из (1) в (3): \[ 1.6 = 729a + 27b + (1.3 - 100a - 10b) \\ 0.3 = 729a + 27b - 100a - 10b \\ 0.3 = 629a + 17b \quad (5) \] Теперь у нас есть система (4) и (5): 1. \( 989a + 23b = 0 \) 2. \( 629a + 17b = 0.3 \) Умножим (4) на 17 и (5) на 23 для исключения \( b \): \[ 16713a + 391b = 0 \quad (6) \\ 14467a + 391b = 6.9 \quad (7) \] Вычтем (6) из (7): \[ (14467 - 16713)a = 6.9 \\ -2246a = 6.9 \quad \Rightarrow \quad a = -0.00307 \] Подставляем \( a \) обратно в уравнение (4) для нахождения \( b \): \[ 989(-0.00307) + 23b = 0 \\ -3.03 + 23b = 0 \quad \Rightarrow \quad b = 0.131 \] Наконец, подставляем \( a \) и \( b \) в любое уравнение, чтобы найти \( c \): \[ c = 1.3 - 100(-0.00307) - 10(0.131) \\ c = 1.3 + 0.307 - 1.31 = 0.297 \] 7. **Теперь у нас есть функция:** \[ y = -0.00307x^2 + 0.131x + 0.297 \] 8. **Найдем максимум:** Для квадратичной функции максимальное значение достигается в вершине параболы: \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0.131}{2 \cdot -0.00307} \approx 21.42 \] 9. **Ответ:** Итак, максимальная ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведет к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства, составляет примерно **21.4%**.