Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Чтобы найти ставку налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведет к максимальным поступлениям в бюджет, будем рассматривать зависимость поступлений от ставки налога как квадратичную функцию.
Обозначим переменные:
Пусть \( x \) — ставка налога (в процентах).
Пусть \( y \) — поступления в бюджет (в миллиардах фантиков).Данные:
Мы знаем три точки с координатами (ставка налога, поступления):- При \( x = 10 \% \), \( y = 1.3 \)
- При \( x = 33 \% \), \( y = 1.3 \)
- При \( x = 27 \% \), \( y = 1.6 \)
Запишем функциональную зависимость: Квадратичная функция имеет вид: \[ y = ax^2 + bx + c \] Нам нужно определить коэффициенты \( a \), \( b \), и \( c \).
Систему уравнений: Подставим известные значения в функцию. Получим три уравнения:
- \( 1.3 = a(10)^2 + b(10) + c \) --> (1)
- \( 1.3 = a(33)^2 + b(33) + c \) --> (2)
- \( 1.6 = a(27)^2 + b(27) + c \) --> (3)
Поскольку мы имеем три уравнения и три неизвестных, мы можем решить эту систему для нахождения коэффициентов.
Решение уравнений: Подставляем данные в уравнения и упрощаем:
Уравнение (1): \[ 1.3 = 100a + 10b + c \]
Уравнение (2): \[ 1.3 = 1089a + 33b + c \]
Уравнение (3): \[ 1.6 = 729a + 27b + c \]
Теперь можем выразить \( c \) из первого уравнения: \[ c = 1.3 - 100a - 10b \]
Подставляем выражение для \( c \) во второе и третье уравнения и решаем систему.
Решение системы: Подстановив \( c \) из (1) в (2): \[ 1.3 = 1089a + 33b + (1.3 - 100a - 10b) \\ 0 = 1089a + 33b - 100a - 10b \\ 0 = 989a + 23b \quad (4) \]
Теперь подставляем \( c \) из (1) в (3): \[ 1.6 = 729a + 27b + (1.3 - 100a - 10b) \\ 0.3 = 729a + 27b - 100a - 10b \\ 0.3 = 629a + 17b \quad (5) \]
Теперь у нас есть система (4) и (5):
- \( 989a + 23b = 0 \)
- \( 629a + 17b = 0.3 \)
Умножим (4) на 17 и (5) на 23 для исключения \( b \): \[ 16713a + 391b = 0 \quad (6) \\ 14467a + 391b = 6.9 \quad (7) \]
Вычтем (6) из (7): \[ (14467 - 16713)a = 6.9 \\ -2246a = 6.9 \quad \Rightarrow \quad a = -0.00307 \]
Подставляем \( a \) обратно в уравнение (4) для нахождения \( b \): \[ 989(-0.00307) + 23b = 0 \\ -3.03 + 23b = 0 \quad \Rightarrow \quad b = 0.131 \]
Наконец, подставляем \( a \) и \( b \) в любое уравнение, чтобы найти \( c \): \[ c = 1.3 - 100(-0.00307) - 10(0.131) \\ c = 1.3 + 0.307 - 1.31 = 0.297 \]
Теперь у нас есть функция: \[ y = -0.00307x^2 + 0.131x + 0.297 \]
Найдем максимум: Для квадратичной функции максимальное значение достигается в вершине параболы: \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0.131}{2 \cdot -0.00307} \approx 21.42 \]
Ответ: Итак, максимальная ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведет к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства, составляет примерно 21.4%.
