Давайте решим предложенные задачи по теме "Декартовы координаты на плоскости" шаг за шагом.
Задача 1:
Найдите длину отрезка EF и координаты его середины, если E (-5; 2) и F (7; -6).
Решение:
Длина отрезка рассчитывается по формуле:
[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
]
где (E(x_1, y_1) = (-5, 2)) и (F(x_2, y_2) = (7, -6)).
Подставляем значения:
[
d = \sqrt{(7 - (-5))^2 + (-6 - 2)^2} = \sqrt{(7 + 5)^2 + (-8)^2} = \sqrt{12^2 + (-8)^2} = \sqrt{144 + 64} = \sqrt{208} = 4\sqrt{13} \approx 14.42
]
Координаты середины отрезка определяются по формуле:
[
M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)
]
Подставим значения:
[
M\left(\frac{-5 + 7}{2}, \frac{2 + (-6)}{2}\right) = M\left(\frac{2}{2}, \frac{-4}{2}\right) = M(1, -2)
]
Ответ: Длина отрезка EF: (4\sqrt{13} \approx 14.42), координаты середины: (1, -2).
Задача 2:
Составьте уравнение окружности, центр которой находится в точке C (5; -3) и которая проходит через точку N (2; -4).
Решение:
Найдем радиус окружности, измерив расстояние от центра C до точки N:
[
r = \sqrt{(x_N - x_C)^2 + (y_N - y_C)^2} = \sqrt{(2 - 5)^2 + (-4 + 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}
]
Уравнение окружности имеет вид:
[
(x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 = r^2
]
Подставим значения:
[
(x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 10
]
Ответ: Уравнение окружности: ((x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 10).
Задача 3:
Найдите координаты вершины K параллелограмма EFPK, если E (3; -1), F (-3; 3), P (2; -2).
Решение:
- В параллелограмме средние точки противолежащих сторон совпадают, поэтому:
[
K = E + P - F
]
Сначала найдем координаты (K):
[
K_x = 3 + 2 - (-3) = 3 + 2 + 3 = 8
]
[
K_y = -1 + (-2) - 3 = -1 - 2 - 3 = -6
]
Таким образом, (K(8, -6)).
Ответ: Координаты точки K: (8, -6).
Задача 4:
Составьте уравнение прямой, проходящей через точки D (-3; 9) и K (5; -7).
Решение:
Сначала найдем угловой коэффициент (m) прямой:
[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-7 - 9}{5 - (-3)} = \frac{-16}{8} = -2
]
Теперь можем использовать уравнение прямой в виде (y - y_1 = m(x - x_1)):
[
y - 9 = -2(x + 3)
]
Раскроем скобки:
[
y - 9 = -2x - 6 \Rightarrow y = -2x + 3
]
Ответ: Уравнение прямой: (y = -2x + 3).
Задача 5:
Найдите координаты точки, принадлежащей оси ординат, и равноудаленной от точек A (-5; 2) и B (-3; 6).
Решение:
Обозначим точку, принадлежащую оси ординат, как (P(0, y)).
Условие равноудаленности означает, что расстояния от A до P и от B до P равны:
[
\sqrt{(0 - (-5))^2 + (y - 2)^2} = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (y - 6)^2}
]
Убираем корни:
[
(5^2 + (y - 2)^2) = (3^2 + (y - 6)^2)
]
Расписываем:
[
25 + (y^2 - 4y + 4) = 9 + (y^2 - 12y + 36)
]
Упрощаем уравнение:
[
25 + y^2 - 4y + 4 = 9 + y^2 - 12y + 36
]
Убираем (y^2) и упрощаем:
[
29 - 4y = 45 - 12y
]
Переносим все y на одну сторону:
[
8y = 16 \Rightarrow y = 2
]
Ответ: Координаты точки: (0, 2).
Задача 6:
Составьте уравнение прямой, которая параллельна прямой (y = 4x + b) и проходит через центр окружности (x^2 + y^2 + 12x + 8y + 50 = 0).
Решение:
Сначала найдем центр окружности. Уравнение окружности можно переписать в канонической форме:
[
x^2 + 12x + y^2 + 8y + 50 = 0 \Rightarrow (x + 6)^2 + (y + 4)^2 = 36
]
Центр окружности находится в точке ((-6, -4)).
Угловой коэффициент прямой, параллельной (y = 4x + b) равен 4. Используя точку ((-6, -4)), составим уравнение:
[
y - (-4) = 4(x - (-6)) \Rightarrow y + 4 = 4(x + 6)
]
Раскрываем скобки:
[
y + 4 = 4x + 24 \Rightarrow y = 4x + 20
]
Ответ: Уравнение прямой: (y = 4x + 20).
Вот все решения предложенных задач с подробным объяснением. Если у вас есть дополнительные вопросы или необходима помощь с другими задачами, не стесняйтесь обращаться!
