Контрольная работа по теме "Декартовы координаты на плоскости" Вариант 2 1. Найдите длину отрезка EF и координаты его середины, если E (-5; 2) и F (7; -6). 2. Составьте уравнение…

Давайте решим предложенные задачи по теме "Декартовы координаты на плоскости" шаг за шагом.

Задача 1:

Найдите длину отрезка EF и координаты его середины, если E (-5; 2) и F (7; -6).

Решение:

1. Длина отрезка рассчитывается по формуле: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] где \(E(x_1, y_1) = (-5, 2)\) и \(F(x_2, y_2) = (7, -6)\).

   Подставляем значения: \[ d = \sqrt{(7 - (-5))^2 + (-6 - 2)^2} = \sqrt{(7 + 5)^2 + (-8)^2} = \sqrt{12^2 + (-8)^2} = \sqrt{144 + 64} = \sqrt{208} = 4\sqrt{13} \approx 14.42 \]

2. Координаты середины отрезка определяются по формуле: \[ M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \] Подставим значения: \[ M\left(\frac{-5 + 7}{2}, \frac{2 + (-6)}{2}\right) = M\left(\frac{2}{2}, \frac{-4}{2}\right) = M(1, -2) \]

Ответ: Длина отрезка EF: \(4\sqrt{13} \approx 14.42\), координаты середины: (1, -2).

Задача 2:

Составьте уравнение окружности, центр которой находится в точке C (5; -3) и которая проходит через точку N (2; -4).

Решение:

1. Найдем радиус окружности, измерив расстояние от центра C до точки N: \[ r = \sqrt{(x_N - x_C)^2 + (y_N - y_C)^2} = \sqrt{(2 - 5)^2 + (-4 + 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \]

2. Уравнение окружности имеет вид: \[ (x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 = r^2 \] Подставим значения: \[ (x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 10 \]

Ответ: Уравнение окружности: \((x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 10\).

Задача 3:

Найдите координаты вершины K параллелограмма EFPK, если E (3; -1), F (-3; 3), P (2; -2).

Решение:

1. В параллелограмме средние точки противолежащих сторон совпадают, поэтому: \[ K = E + P - F \] Сначала найдем координаты \(K\): \[ K_x = 3 + 2 - (-3) = 3 + 2 + 3 = 8 \] \[ K_y = -1 + (-2) - 3 = -1 - 2 - 3 = -6 \] Таким образом, \(K(8, -6)\).

Ответ: Координаты точки K: (8, -6).

Задача 4:

Составьте уравнение прямой, проходящей через точки D (-3; 9) и K (5; -7).

Решение:

1. Сначала найдем угловой коэффициент (m) прямой: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-7 - 9}{5 - (-3)} = \frac{-16}{8} = -2 \]

2. Теперь можем использовать уравнение прямой в виде \(y - y_1 = m(x - x_1)\): \[ y - 9 = -2(x + 3) \] Раскроем скобки: \[ y - 9 = -2x - 6 \Rightarrow y = -2x + 3 \]

Ответ: Уравнение прямой: \(y = -2x + 3\).

Задача 5:

Найдите координаты точки, принадлежащей оси ординат, и равноудаленной от точек A (-5; 2) и B (-3; 6).

Решение:

1. Обозначим точку, принадлежащую оси ординат, как \(P(0, y)\).

2. Условие равноудаленности означает, что расстояния от A до P и от B до P равны: \[ \sqrt{(0 - (-5))^2 + (y - 2)^2} = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (y - 6)^2} \] Убираем корни: \[ (5^2 + (y - 2)^2) = (3^2 + (y - 6)^2) \] Расписываем: \[ 25 + (y^2 - 4y + 4) = 9 + (y^2 - 12y + 36) \] Упрощаем уравнение: \[ 25 + y^2 - 4y + 4 = 9 + y^2 - 12y + 36 \] Убираем \(y^2\) и упрощаем: \[ 29 - 4y = 45 - 12y \] Переносим все y на одну сторону: \[ 8y = 16 \Rightarrow y = 2 \]

Ответ: Координаты точки: (0, 2).

Задача 6:

Составьте уравнение прямой, которая параллельна прямой \(y = 4x + b\) и проходит через центр окружности \(x^2 + y^2 + 12x + 8y + 50 = 0\).

Решение:

1. Сначала найдем центр окружности. Уравнение окружности можно переписать в канонической форме: \[ x^2 + 12x + y^2 + 8y + 50 = 0 \Rightarrow (x + 6)^2 + (y + 4)^2 = 36 \] Центр окружности находится в точке \((-6, -4)\).

2. Угловой коэффициент прямой, параллельной \(y = 4x + b\) равен 4. Используя точку \((-6, -4)\), составим уравнение: \[ y - (-4) = 4(x - (-6)) \Rightarrow y + 4 = 4(x + 6) \] Раскрываем скобки: \[ y + 4 = 4x + 24 \Rightarrow y = 4x + 20 \]

Ответ: Уравнение прямой: \(y = 4x + 20\).

Вот все решения предложенных задач с подробным объяснением. Если у вас есть дополнительные вопросы или необходима помощь с другими задачами, не стесняйтесь обращаться!