решить

Для решения задачи 1 нужно понять, что представляют собой случайные величины \( X \) и \( Y \), и как они связаны. Нам даны их распределения, и требуется найти распределение другой случайной величины \( Z = W = 2X + Y \).

Шаг 1: Построение законов распределения

Мы имеем две случайные величины \( X \) и \( Y \) со следующими распределениями:

• Для \( X \):

  • \( X = 0 \), \( P(X = 0) = 0.1 \)
  • \( X = 1 \), \( P(X = 1) = 0.2 \)
  • \( X = 2 \), \( P(X = 2) = 0.4 \)
  • \( X = 3 \), \( P(X = 3) = 0.3 \)

• Для \( Y \):

  • \( Y = 0 \), \( P(Y = 0) = 0.2 \)
  • \( Y = 1 \), \( P(Y = 1) = 0.3 \)
  • \( Y = 2 \), \( P(Y = 2) = 0.5 \)

Шаг 2: Закон распределения для \( Z = 2X + Y \)

Случайная величина \( Z = 2X + Y \) может принимать значения, которые зависят от всех пар \((X, Y)\). Вычислим вероятности для каждого возможного значения \( Z \):

Итак, наше значение \( Z = 2x + y \). Рассмотрим все комбинации \( x \) и \( y \):

1. \( x = 0 \):

   • \( z = 2 \cdot 0 + 0 = 0 \), \( P(Z = 0) = P(X = 0) \cdot P(Y = 0) = 0.1 \cdot 0.2 = 0.02 \)
   • \( z = 2 \cdot 0 + 1 = 1 \), \( P(Z = 1) = P(X = 0) \cdot P(Y = 1) = 0.1 \cdot 0.3 = 0.03 \)
   • \( z = 2 \cdot 0 + 2 = 2 \), \( P(Z = 2) = P(X = 0) \cdot P(Y = 2) = 0.1 \cdot 0.5 = 0.05 \)

2. \( x = 1 \):

   • \( z = 2 \cdot 1 + 0 = 2 \), \( P(Z = 2) = P(X = 1) \cdot P(Y = 0) = 0.2 \cdot 0.2 = 0.04 \)
   • \( z = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \), \( P(Z = 3) = P(X = 1) \cdot P(Y = 1) = 0.2 \cdot 0.3 = 0.06 \)
   • \( z = 2 \cdot 1 + 2 = 4 \), \( P(Z = 4) = P(X = 1) \cdot P(Y = 2) = 0.2 \cdot 0.5 = 0.1 \)

3. \( x = 2 \):

   • \( z = 2 \cdot 2 + 0 = 4 \), \( P(Z = 4) = P(X = 2) \cdot P(Y = 0) = 0.4 \cdot 0.2 = 0.08 \)
   • \( z = 2 \cdot 2 + 1 = 5 \), \( P(Z = 5) = P(X = 2) \cdot P(Y = 1) = 0.4 \cdot 0.3 = 0.12 \)
   • \( z = 2 \cdot 2 + 2 = 6 \), \( P(Z = 6) = P(X = 2) \cdot P(Y = 2) = 0.4 \cdot 0.5 = 0.2 \)

4. \( x = 3 \):

   • \( z = 2 \cdot 3 + 0 = 6 \), \( P(Z = 6) = P(X = 3) \cdot P(Y = 0) = 0.3 \cdot 0.2 = 0.06 \)
   • \( z = 2 \cdot 3 + 1 = 7 \), \( P(Z = 7) = P(X = 3) \cdot P(Y = 1) = 0.3 \cdot 0.3 = 0.09 \)
   • \( z = 2 \cdot 3 + 2 = 8 \), \( P(Z = 8) = P(X = 3) \cdot P(Y = 2) = 0.3 \cdot 0.5 = 0.15 \)

Шаг 3: Суммирование вероятностей

Суммируем вероятности для одинаковых значений \( z \):

• \( P(Z = 0) = 0.02 \)
• \( P(Z = 1) = 0.03 \)
• \( P(Z = 2) = 0.05 + 0.04 = 0.09 \)
• \( P(Z = 3) = 0.06 \)
• \( P(Z = 4) = 0.1 + 0.08 = 0.18 \)
• \( P(Z = 5) = 0.12 \)
• \( P(Z = 6) = 0.2 + 0.06 = 0.26 \)
• \( P(Z = 7) = 0.09 \)
• \( P(Z = 8) = 0.15 \)

Это и есть закон распределения для случайной величины \( Z = 2X + Y \).