На координатной плоскости построен параллелограмм ABCD, в котором ZBAC=45° Найдите скалярное произведение АВ АС, если площадь параллелограмма ABCD равна 16

Чтобы найти скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) в параллелограмме ABCD, мы можем воспользоваться известной формулой для скалярного произведения, а также свойствами геометрии.

1. Определим векторы:
   Обозначим:

   • \(\overrightarrow{AB} = \vec{u}\)
   • \(\overrightarrow{AC} = \vec{v}\)

2. Формула скалярного произведения:
   Скаляное произведение двух векторов определяется как: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos(\theta) \] где \(\theta\) — угол между векторами.

3. Площадь параллелограмма:
   Площадь параллелограмма \(S\) также можно выразить через векторы: \[ S = |\vec{u} \times \vec{v}| \] Площадь параллелограмма ABCD равна 16, то есть: \[ |\vec{u} \times \vec{v}| = 16 \]

4. Связь между углом и скалярным произведением:
   Угол между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) равен 45°, то есть: \[ \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

5. Вычисление скалярного произведения:
   Площадь параллелограмма также равна \( |\vec{u}| |\vec{v}| \sin(\theta) \). Для угла 45° имеем: \[ S = |\vec{u}| |\vec{v}| \sin(45^\circ) = |\vec{u}| |\vec{v}| \frac{\sqrt{2}}{2} \] Приравняем выражения для площади: \[ 16 = |\vec{u}| |\vec{v}| \frac{\sqrt{2}}{2} \]

6. Вычислить произведение:
   Из этого уравнения можем выразить произведение длин векторов: \[ |\vec{u}| |\vec{v}| = 16 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 16 \cdot \sqrt{2} \]

7. Теперь найдем скалярное произведение:
   Используем формулу для скалярного произведения: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos(45^\circ) = |\vec{u}| |\vec{v}| \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] Подставим найденное значение: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 16 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 16 \cdot \frac{2}{2} = 16 \]

Таким образом, скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) равно \(16\).