4..
Задача по статистике
5. В результате испытания случайная величина Х приняла следующие значения: 4, 1, 5, 6, 7, 3, 1, 3, 5, 5, 3, 2, 6, 8, 4, 2, 5, 7, 6, 4, 3,6,3. Построить дискретный вариационный ряд, начертить полигон распределения. Найти моду, медиану, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Давайте рассмотрим задачу по статистике шаг за шагом.
1. **Данные задачи:**
Случайная величина \(X\) приняла следующие значения:
\[
4, 1, 5, 6, 7, 3, 1, 3, 5, 5, 3, 2, 6, 8, 4, 2, 5, 7, 6, 4, 3, 6, 3
\]
2. **Построение дискретного вариационного ряда:**
Для начала мы отсортируем данные и подсчитаем частоты для каждого значения.
Отсортированные данные:
\[
1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8
\]
Теперь подсчитаем частоты:
- 1: 2
- 2: 2
- 3: 4
- 4: 3
- 5: 4
- 6: 4
- 7: 2
- 8: 1
Дискретный вариационный ряд:
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f(x) \\
\hline
1 & 2 \\
2 & 2 \\
3 & 4 \\
4 & 3 \\
5 & 4 \\
6 & 4 \\
7 & 2 \\
8 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]
3. **Построение полигона распределения:**
Для построения полигона необходимо обозначить точки на графике по осям \(x\) (значения) и \(y\) (частоты) и соединить их.
4. **Нахождение моды:**
Мода — это значение, которое встречается чаще всего в наборе данных. В данном случае модой будет значение, имеющее наибольшую частоту.
- Мода: \(3\) и \(5\), так как они встречаются по \(4\) раза.
5. **Нахождение медианы:**
Медиана — это среднее значение в отсортированном наборе. Мы сначала находим позицию медианы:
- Порядок данных: 22 (чётное число), поэтому медиана будет средней арифметической двух центральных элементов (11-й и 12-й элементы).
- 11-й элемент: \(4\), 12-й элемент: \(5\):
\[
\text{Медиана} = \frac{4 + 5}{2} = 4.5
\]
6. **Нахождение математического ожидания:**
Математическое ожидание рассчитывается по формуле:
\[
E(X) = \frac{\sum (x \cdot f(x))}{n}
\]
Где \(n\) — общее количество значений, в нашем случае \(n = 22\):
\[
E(X) = \frac{(1 \cdot 2) + (2 \cdot 2) + (3 \cdot 4) + (4 \cdot 3) + (5 \cdot 4) + (6 \cdot 4) + (7 \cdot 2) + (8 \cdot 1)}{22}
\]
\[
= \frac{2 + 4 + 12 + 12 + 20 + 24 + 14 + 8}{22} = \frac{96}{22} \approx 4.36
\]
7. **Нахождение дисперсии:**
Дисперсия вычисляется по формуле:
\[
D = \frac{\sum (x^2 \cdot f(x))}{n} - (E(X))^2
\]
Сначала находим \(\sum (x^2 \cdot f(x))\):
\[
= (1^2 \cdot 2) + (2^2 \cdot 2) + (3^2 \cdot 4) + (4^2 \cdot 3) + (5^2 \cdot 4) + (6^2 \cdot 4) + (7^2 \cdot 2) + (8^2 \cdot 1)
\]
\[
= (2) + (8) + (36) + (48) + (100) + (144) + (98) + (64) = 500
\]
Теперь подставляем в формулу:
\[
D = \frac{500}{22} - (4.36)^2 \approx 22.73 - 19.05 \approx 3.68
\]
8. **Нахождение среднего квадратического отклонения:**
Среднее квадратическое отклонение — это корень из дисперсии.
\[
\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{3.68} \approx 1.92
\]
### Итоговые результаты:
- Дискретный вариационный ряд:
\[
1 \to 2, 2 \to 2, 3 \to 4, 4 \to 3, 5 \to 4, 6 \to 4, 7 \to 2, 8 \to 1
\]
- Мода: \(3\) и \(5\)
- Медиана: \(4.5\)
- Математическое ожидание: \(4.36\)
- Дисперсия: \(3.68\)
- Среднее квадратическое отклонение: \(1.92\)
Это решение охватывает все шаги, и я надеюсь, что оно помогло вам понять, как решать подобные задачи. Если у вас есть вопросы, не стесняйтесь задавать!
