4.. Задача по статистике 5. В результате испытания случайная величина Х приняла следующие значения: 4, 1, 5, 6, 7, 3, 1, 3, 5, 5, 3, 2, 6, 8, 4, 2, 5, 7, 6, 4, 3,6,3. Построить…

Давайте рассмотрим задачу по статистике шаг за шагом.

1. Данные задачи: Случайная величина \(X\) приняла следующие значения: \[ 4, 1, 5, 6, 7, 3, 1, 3, 5, 5, 3, 2, 6, 8, 4, 2, 5, 7, 6, 4, 3, 6, 3 \]

2. Построение дискретного вариационного ряда: Для начала мы отсортируем данные и подсчитаем частоты для каждого значения.

   Отсортированные данные: \[ 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8 \]

   Теперь подсчитаем частоты:

   • 1: 2
   • 2: 2
   • 3: 4
   • 4: 3
   • 5: 4
   • 6: 4
   • 7: 2
   • 8: 1

   Дискретный вариационный ряд: \[ \begin{array}{|c|c|} \hline x & f(x) \\ \hline 1 & 2 \\ 2 & 2 \\ 3 & 4 \\ 4 & 3 \\ 5 & 4 \\ 6 & 4 \\ 7 & 2 \\ 8 & 1 \\ \hline \end{array} \]

3. Построение полигона распределения: Для построения полигона необходимо обозначить точки на графике по осям \(x\) (значения) и \(y\) (частоты) и соединить их.

4. Нахождение моды: Мода — это значение, которое встречается чаще всего в наборе данных. В данном случае модой будет значение, имеющее наибольшую частоту.

   • Мода: \(3\) и \(5\), так как они встречаются по \(4\) раза.

5. Нахождение медианы: Медиана — это среднее значение в отсортированном наборе. Мы сначала находим позицию медианы:

   • Порядок данных: 22 (чётное число), поэтому медиана будет средней арифметической двух центральных элементов (11-й и 12-й элементы).
   • 11-й элемент: \(4\), 12-й элемент: \(5\): \[ \text{Медиана} = \frac{4 + 5}{2} = 4.5 \]

6. Нахождение математического ожидания: Математическое ожидание рассчитывается по формуле: \[ E(X) = \frac{\sum (x \cdot f(x))}{n} \] Где \(n\) — общее количество значений, в нашем случае \(n = 22\): \[ E(X) = \frac{(1 \cdot 2) + (2 \cdot 2) + (3 \cdot 4) + (4 \cdot 3) + (5 \cdot 4) + (6 \cdot 4) + (7 \cdot 2) + (8 \cdot 1)}{22} \] \[ = \frac{2 + 4 + 12 + 12 + 20 + 24 + 14 + 8}{22} = \frac{96}{22} \approx 4.36 \]

7. Нахождение дисперсии: Дисперсия вычисляется по формуле: \[ D = \frac{\sum (x^2 \cdot f(x))}{n} - (E(X))^2 \] Сначала находим \(\sum (x^2 \cdot f(x))\): \[ = (1^2 \cdot 2) + (2^2 \cdot 2) + (3^2 \cdot 4) + (4^2 \cdot 3) + (5^2 \cdot 4) + (6^2 \cdot 4) + (7^2 \cdot 2) + (8^2 \cdot 1) \] \[ = (2) + (8) + (36) + (48) + (100) + (144) + (98) + (64) = 500 \] Теперь подставляем в формулу: \[ D = \frac{500}{22} - (4.36)^2 \approx 22.73 - 19.05 \approx 3.68 \]

8. Нахождение среднего квадратического отклонения: Среднее квадратическое отклонение — это корень из дисперсии. \[ \sigma = \sqrt{D} = \sqrt{3.68} \approx 1.92 \]

Итоговые результаты:

• Дискретный вариационный ряд: \[ 1 \to 2, 2 \to 2, 3 \to 4, 4 \to 3, 5 \to 4, 6 \to 4, 7 \to 2, 8 \to 1 \]
• Мода: \(3\) и \(5\)
• Медиана: \(4.5\)
• Математическое ожидание: \(4.36\)
• Дисперсия: \(3.68\)
• Среднее квадратическое отклонение: \(1.92\)

Это решение охватывает все шаги, и я надеюсь, что оно помогло вам понять, как решать подобные задачи. Если у вас есть вопросы, не стесняйтесь задавать!