Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах
Чтобы решить задачу, давайте обозначим переменные и воспользуемся информацией о налоговых поступлениях.
Обозначим:
- \( x \) – ставка налога на продажу (в процентах),
- \( f(x) \) – функция, описывающая поступления в бюджет от налога на продажу сапогов-скороходов.
Из условия задачи нам дано три точки:
- При \( x = 10 \), \( f(10) = 1.3 \) (млрд фантиков),
- При \( x = 33 \), \( f(33) = 1.3 \) (млрд фантиков),
- При \( x = 27 \), \( f(27) = 1.6 \) (млрд фантиков).
Зная, что \( f(x) \) – квадратичная функция, мы можем записать её в стандартной форме: \[ f(x) = ax^2 + bx + c, \] где \( a \), \( b \) и \( c \) – некоторые коэффициенты. Используем известные значения для создания системы уравнений.
Определим три уравнения:
- \( f(10) = a(10)^2 + b(10) + c = 1.3 \)
- \( f(33) = a(33)^2 + b(33) + c = 1.3 \)
- \( f(27) = a(27)^2 + b(27) + c = 1.6 \)
Теперь выразим каждое из уравнений математически:
- \( 100a + 10b + c = 1.3 \) — (1)
- \( 1089a + 33b + c = 1.3 \) — (2)
- \( 729a + 27b + c = 1.6 \) — (3)
Теперь можем вычесть уравнения, чтобы избавиться от \( c \): Вычтем (1) из (2): \[ 1089a + 33b + c - (100a + 10b + c) = 1.3 - 1.3, \] \[ (1089 - 100)a + (33 - 10)b = 0, \] \[ 989a + 23b = 0. \quad (4) \]
Вычтем (1) из (3): \[ 729a + 27b + c - (100a + 10b + c) = 1.6 - 1.3, \] \[ (729 - 100)a + (27 - 10)b = 0.3, \] \[ 629a + 17b = 0.3. \quad (5) \]
Теперь у нас есть два уравнения (4) и (5).
Решим их, выразив \( b \) через \( a \) из (4): \[ 23b = -989a, \] \[ b = -\frac{989}{23}a. \]
Подставим это значение в (5): \[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0.3, \] \[ 629a - \frac{16813}{23}a = 0.3. \]
Умножим уравнение на 23, чтобы избавиться от дроби: \[ (629 \cdot 23)a - 16813a = 6.9, \] \[ 14467a - 16813a = 6.9, \] \[ -2346a = 6.9, \] \[ a = -\frac{6.9}{2346} \approx -0.0029443. \]
Теперь найдём \( b \): \[ b = -\frac{989}{23}\left(-\frac{6.9}{2346}\right) \approx 0.189, \]
И подставим значения \( a \) и \( b \) в (1) для нахождения \( c \): \[ 100(-0.0029443) + 10(0.189) + c = 1.3, \] \[ -0.29443 + 1.89 + c = 1.3, \] \[ c = 1.3 - 1.59557 = -0.29557. \]
Таким образом, имеем: \[ f(x) \approx -0.0029443 x^2 + 0.189 x - 0.29557. \]
Квадратичная функция достигает максимума в её вершине, координаты которой по формуле \( -\frac{b}{2a} \): \[ x_{max} = -\frac{0.189}{2(-0.0029443)} \approx 32.1. \]
Таким образом, для максимальных поступлений в бюджет Тридевятого царства ставка налога на продажу сапогов-скороходов должна составлять примерно 32%.
