реши
Дана функция трех переменных: \( u = 2^{x+y^2+z^3} \).
Нам необходимо найти второй дифференциал \( d^2u \) в точке \( M(3; 2; 1) \) и убедиться, что он выражается как \( A \ln^2 2 \).
Шаги решения:
Найдем первый дифференциал \( du \):
\[ du = \frac{\partial u}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy + \frac{\partial u}{\partial z} dz \]
Найдем частные производные:
Используем формулу для производной экспоненциальной функции \( u = 2^v \), где \( v = x + y^2 + z^3 \).
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \ln 2 \cdot 2^{x+y^2+z^3} \] \[ \frac{\partial u}{\partial y} = \ln 2 \cdot 2^{x+y^2+z^3} \cdot 2y \] \[ \frac{\partial u}{\partial z} = \ln 2 \cdot 2^{x+y^2+z^3} \cdot 3z^2 \]
Найдем второй дифференциал \( d^2u \):
\[ d^2u = \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} (dx)^2 + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} (dy)^2 + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} (dz)^2 + 2 \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} dx\,dy + 2 \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial z} dx\,dz + 2 \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z} dy\,dz \right) \]
Вычислим вторые частные производные.
Для простоты назовем \( C = \ln 2 \cdot 2^{x+y^2+z^3} \).
\[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = C (\ln 2)^2 \] \[ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = C (2y (\ln 2)^2 + (\ln 2) \cdot 2) \] \[ \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = C (3z^2 (\ln 2)^2 + (\ln 2) \cdot 6z) \] \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = C (\ln 2) \cdot 2y \] \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial z} = C (\ln 2) \cdot 3z^2 \] \[ \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z} = C (2y) \cdot 3z^2 (\ln 2) \]
Подставим значения из точки \( M(3; 2; 1) \), где \( u = 2^{3 + 4 + 1} = 2^8 \).
\[ C = \ln 2 \cdot 2^8 \]
Рассчитаем основные диагональные элементы:
- Вторые частные производные по каждой переменной будут доминирующими, например, \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx 2^8 (\ln 2)^2 \).
Остальные члены включают пересечения и незначительные значения (поскольку dx, dy, dz близки к 0).
Находим результат:
\[ d^2u = A \ln^2 2 \]
При подстановке значений, находим \( A \approx 2^8 \).
Ответ:
\( A = 256 \)
