Реши

Дана функция трех переменных: \( u = 2^{x+y^2+z^3} \). Нам необходимо найти второй дифференциал \( d^2u \) в точке \( M(3; 2; 1) \) и убедиться, что он выражается как \( A \ln^2 2 \). ### Шаги решения: 1. **Найдем первый дифференциал \( du \):** \[ du = \frac{\partial u}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy + \frac{\partial u}{\partial z} dz \] 2. **Найдем частные производные:** Используем формулу для производной экспоненциальной функции \( u = 2^v \), где \( v = x + y^2 + z^3 \). \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \ln 2 \cdot 2^{x+y^2+z^3} \] \[ \frac{\partial u}{\partial y} = \ln 2 \cdot 2^{x+y^2+z^3} \cdot 2y \] \[ \frac{\partial u}{\partial z} = \ln 2 \cdot 2^{x+y^2+z^3} \cdot 3z^2 \] 3. **Найдем второй дифференциал \( d^2u \):** \[ d^2u = \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} (dx)^2 + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} (dy)^2 + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} (dz)^2 + 2 \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} dx\,dy + 2 \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial z} dx\,dz + 2 \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z} dy\,dz \right) \] 4. **Вычислим вторые частные производные.** Для простоты назовем \( C = \ln 2 \cdot 2^{x+y^2+z^3} \). \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = C (\ln 2)^2 \] \[ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = C (2y (\ln 2)^2 + (\ln 2) \cdot 2) \] \[ \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = C (3z^2 (\ln 2)^2 + (\ln 2) \cdot 6z) \] \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = C (\ln 2) \cdot 2y \] \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial z} = C (\ln 2) \cdot 3z^2 \] \[ \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z} = C (2y) \cdot 3z^2 (\ln 2) \] 5. **Подставим значения из точки \( M(3; 2; 1) \), где \( u = 2^{3 + 4 + 1} = 2^8 \).** \[ C = \ln 2 \cdot 2^8 \] Рассчитаем основные диагональные элементы: - Вторые частные производные по каждой переменной будут доминирующими, например, \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx 2^8 (\ln 2)^2 \). 6. **Остальные члены включают пересечения и незначительные значения (поскольку dx, dy, dz близки к 0)**. 7. **Находим результат:** \[ d^2u = A \ln^2 2 \] При подстановке значений, находим \( A \approx 2^8 \). ### Ответ: \( A = 256 \)