Чтобы решить задачу, мы начнем с того, что объем налогов, поступающих в бюджет от продажи сапогов-скороходов, задается квадратичной функцией. Мы обозначим налоговую ставку как ( x ), а поступления в бюджет (в миллиардах фантиков) как ( f(x) ). Таким образом, мы можем записать:
[ f(x) = ax^2 + bx + c ]
где ( a ), ( b ) и ( c ) — некоторые коэффициенты, которые нам нужно определить.
Данные из задачи:
При налоговой ставке ( x = 10 )%, ( f(10) = 1.3 ) млрд:
[ f(10) = a(10)^2 + b(10) + c = 1.3 ]
[ 100a + 10b + c = 1.3 ] (уравнение 1)
При налоговой ставке ( x = 33 )%, ( f(33) = 1.3 ) млрд:
[ f(33) = a(33)^2 + b(33) + c = 1.3 ]
[ 1089a + 33b + c = 1.3 ] (уравнение 2)
При налоговой ставке ( x = 27 )%, ( f(27) = 1.6 ) млрд:
[ f(27) = a(27)^2 + b(27) + c = 1.6 ]
[ 729a + 27b + c = 1.6 ] (уравнение 3)
Теперь у нас есть система из трёх уравнений с тремя неизвестными. Мы можем выразить ( c ) из каждого уравнения и подставить в остальные, чтобы найти ( a ) и ( b ).
Выразим ( c ):
Из уравнения 1:
[ c = 1.3 - 100a - 10b ]
Подставим ( c ) в уравнения 2 и 3.
Подстановка в уравнение 2:
[
1089a + 33b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.3
]
Упрощаем:
[
1089a + 33b + 1.3 - 100a - 10b = 1.3
]
[
(1089 - 100)a + (33 - 10)b = 0 \implies 989a + 23b = 0 \quad (уравнение 4)
]
Подстановка в уравнение 3:
[
729a + 27b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.6
]
Упрощаем:
[
729a + 27b + 1.3 - 100a - 10b = 1.6
]
[
(729 - 100)a + (27 - 10)b = 0 \implies 629a + 17b = 0 \quad (уравнение 5)
]
Теперь у нас есть система из уравнений 4 и 5:
[
\begin{cases}
989a + 23b = 0 \
629a + 17b = 0
\end{cases}
]
Решение системы:
Решим её, выразив ( b ) через ( a ):
Из уравнения 4:
[
b = -\frac{989}{23}a
]
Подставляем в уравнение 5:
[
629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0
]
[
629a - \frac{16713}{23}a = 0
]
Приводим к общему знаменателю:
[
\frac{629 \cdot 23 - 16713}{23}a = 0
]
[
\frac{14467 - 16713}{23}a = 0 \implies -2246 = 0
]
К этим уравнениям мы не можем найти явные значения для ( a ) и ( b ), поэтому лучше использовать данные о значениях функции.
Согласно теореме, производная функции, максимально указывающая доходы, находится в вершине параболы. Вершина квадратичной функции ( ax^2 + bx + c ) находится по формуле:
[
x = -\frac{b}{2a}
]
Подведём итог
Теперь, чтобы найти коэффициенты, можно использовать известные данные. Найдем численно или с графиком, но вернемся к изначальным данным.
Мы знаем, что при 10% и 33% налоговой ставке мы имеем одинаковые поступления (1.3 млрд), следовательно, максимальное значение будет находиться между ними. Вследствие неравномерности этих данных, мы можем сделать предположение о том, что максимальные поступления будут на ( x = 27% ) (учитывая, что на этих значениях есть рост).
Ответ
Таким образом, ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведет к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства, приблизительно равна 27%.
