Давайте по порядку разберем каждую из задач:
Задача 8
Дано: Правильный 6-угольник ABCDEF. Нужно найти угол САЕ.
Решение:
В правильном 6-угольнике все углы равны. Формула для угла в правильном n-угольнике:
[
\text{Угол} = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}
]
Подставляем (n = 6):
[
\text{Угол} = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ
]
Угол САЕ является внутренним углом, который формируется путем соединения двух вершин 6-угольника (C и A) с вершиной E. В правильном 6-угольнике, если провести линии из C в A и из A в E, угол CAE тоже равен 60° (так как это половина угла в 120°).
Ответ: Угол САЕ = 60°.
Задача 9
Дано: Правильный 6-угольник вписан в окружность, периметр 18 см. Найдите радиус окружности.
Решение:
Периметр 6-угольника равен (6a), где (a) — длина стороны:
[
6a = 18 \implies a = 3 \text{ см}
]
Радиус описанной окружности (R) для правильного 6-угольника:
[
R = \frac{a}{\sqrt{3}} \times 2
]
Подставляем (a = 3 \text{ см}):
[
R = \frac{3 \text{ см}}{\sqrt{3}} \times 2 = 2 \sqrt{3} \text{ см} \approx 3.464 \text{ см}
]
Ответ: Радиус окружности ≈ 3.464 см.
Задача 10
Дано: Радиус окружности, описанной около правильного 8-угольника R = 2 см. Найдите радиус окружности, вписанной в него (r).
Решение:
Для правильного n-угольника со стороной (a):
[
R = \frac{a}{2 \sin(\pi/n)}
]
[
r = \frac{a}{2 \tan(\pi/n)}
]
В случае 8-угольника, (n = 8):
[
r = R \cdot \frac{\cos(\pi/8)}{\sin(\pi/8)} = R \cdot \cot(\pi/8)
]
Подставляем (R = 2):
[
r = 2 \cdot \cot(\pi/8)
]
Из таблицы или калькулятора:
(\cot(\pi/8) \approx 2.414).
Таким образом:
[
r \approx 2 \cdot 2.414 \approx 4.828 \text{ см}
]
Ответ: Радиус окружности, вписанной в 8-угольник ≈ 4.83 см.
Задача 11
Дано: Радиус описанной окружности правильного треугольника R = 7 см. Найдите площадь треугольника.
Решение:
Для правильного треугольника связь между радиусом R и стороной (a):
[
R = \frac{a}{\sqrt{3}} \implies a = R \cdot \sqrt{3} = 7 \sqrt{3} \text{ см}
]
Площадь (S) правильного треугольника:
[
S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(7\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{147}{4} \cdot \sqrt{3} \approx 63.67 \text{ см}^2
]
Ответ: Площадь ≈ 63.67 см².
Задача 12
Дано: Катеты прямоугольного треугольника 20 см и 21 см. Найти радиусы описанной и вписанной окружностей.
Решение:
Находим гипотенузу (c) по теореме Пифагора:
[
c = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29 \text{ см}
]
Радиус описанной окружности (R):
[
R = \frac{abc}{4S}
]
Для нахождения площади (S):
[
S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 21 = 210 \text{ см}^2
]
Подставляем в формулу:
[
R = \frac{20 \cdot 21 \cdot 29}{4 \cdot 210} = \frac{6090}{840} = 7.25 \text{ см}
]
Радиус вписанной окружности (r):
[
r = \frac{S}{p}
]
где (p) — полупериметр (p = \frac{20 + 21 + 29}{2} = 35 \text{ см}).
[
r = \frac{210}{35} = 6 \text{ см}
]
Ответ: Радиус описанной окружности R = 7.25 см, радиус вписанной окружности r = 6 см.
