8. ABCDEF - правильный 6-угольник. Найти угол САЕ. 9. В окружность вписан правильный 6-угольник с периметром 18 см. Найти радиус окружности. 10. Радиус окружности, описанной около…

Давайте по порядку разберем каждую из задач:

Задача 8

Дано: Правильный 6-угольник ABCDEF. Нужно найти угол САЕ.

Решение:

1. В правильном 6-угольнике все углы равны. Формула для угла в правильном n-угольнике: \[ \text{Угол} = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} \] Подставляем \(n = 6\): \[ \text{Угол} = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ \]

2. Угол САЕ является внутренним углом, который формируется путем соединения двух вершин 6-угольника (C и A) с вершиной E. В правильном 6-угольнике, если провести линии из C в A и из A в E, угол CAE тоже равен 60° (так как это половина угла в 120°).

Ответ: Угол САЕ = 60°.

Задача 9

Дано: Правильный 6-угольник вписан в окружность, периметр 18 см. Найдите радиус окружности.

Решение:

1. Периметр 6-угольника равен \(6a\), где \(a\) — длина стороны: \[ 6a = 18 \implies a = 3 \text{ см} \]

2. Радиус описанной окружности (R) для правильного 6-угольника: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \times 2 \] Подставляем \(a = 3 \text{ см}\): \[ R = \frac{3 \text{ см}}{\sqrt{3}} \times 2 = 2 \sqrt{3} \text{ см} \approx 3.464 \text{ см} \]

Ответ: Радиус окружности ≈ 3.464 см.

Задача 10

Дано: Радиус окружности, описанной около правильного 8-угольника R = 2 см. Найдите радиус окружности, вписанной в него (r).

Решение:

1. Для правильного n-угольника со стороной \(a\): \[ R = \frac{a}{2 \sin(\pi/n)} \] \[ r = \frac{a}{2 \tan(\pi/n)} \]

2. В случае 8-угольника, \(n = 8\): \[ r = R \cdot \frac{\cos(\pi/8)}{\sin(\pi/8)} = R \cdot \cot(\pi/8) \] Подставляем \(R = 2\): \[ r = 2 \cdot \cot(\pi/8) \]

   Из таблицы или калькулятора: \(\cot(\pi/8) \approx 2.414\).

3. Таким образом: \[ r \approx 2 \cdot 2.414 \approx 4.828 \text{ см} \]

Ответ: Радиус окружности, вписанной в 8-угольник ≈ 4.83 см.

Задача 11

Дано: Радиус описанной окружности правильного треугольника R = 7 см. Найдите площадь треугольника.

Решение:

1. Для правильного треугольника связь между радиусом R и стороной \(a\): \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \implies a = R \cdot \sqrt{3} = 7 \sqrt{3} \text{ см} \]

2. Площадь \(S\) правильного треугольника: \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(7\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{147}{4} \cdot \sqrt{3} \approx 63.67 \text{ см}^2 \]

Ответ: Площадь ≈ 63.67 см².

Задача 12

Дано: Катеты прямоугольного треугольника 20 см и 21 см. Найти радиусы описанной и вписанной окружностей.

Решение:

1. Находим гипотенузу \(c\) по теореме Пифагора: \[ c = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29 \text{ см} \]

2. Радиус описанной окружности \(R\): \[ R = \frac{abc}{4S} \] Для нахождения площади \(S\): \[ S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 21 = 210 \text{ см}^2 \] Подставляем в формулу: \[ R = \frac{20 \cdot 21 \cdot 29}{4 \cdot 210} = \frac{6090}{840} = 7.25 \text{ см} \]

3. Радиус вписанной окружности \(r\): \[ r = \frac{S}{p} \] где \(p\) — полупериметр \(p = \frac{20 + 21 + 29}{2} = 35 \text{ см}\). \[ r = \frac{210}{35} = 6 \text{ см} \]

Ответ: Радиус описанной окружности R = 7.25 см, радиус вписанной окружности r = 6 см.