Решить функцию (9-4x)⁶

Для того чтобы решить выражение \((9 - 4x)^6\), нам потребуется использовать формулу бинома Ньютона. Это позволяет разложить выражение в ряд с использованием сочетаний и степеней. Давайте подробно пройдем через этот процесс. ### Шаг 1: Определение формулы бинома Ньютона Формула бинома Ньютона гласит, что: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] где \(\binom{n}{k}\) — это биномиальный коэффициент, который вычисляется как: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] ### Шаг 2: Применение формулы к нашей задаче В нашем случае: - \(a = 9\) - \(b = -4x\) - \(n = 6\) Подставим эти значения в формулу: \[ (9 - 4x)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} (9)^{6-k} (-4x)^k \] ### Шаг 3: Вычисление каждого члена суммы Теперь мы вычислим сумму, поочередно подставляя значение \(k\) от 0 до 6. - Для \(k = 0\): \[ \binom{6}{0} (9)^6 (-4x)^0 = 1 \cdot 531441 \cdot 1 = 531441 \] - Для \(k = 1\): \[ \binom{6}{1} (9)^5 (-4x)^1 = 6 \cdot 59049 \cdot (-4x) = -1413724x \] - Для \(k = 2\): \[ \binom{6}{2} (9)^4 (-4x)^2 = 15 \cdot 6561 \cdot 16x^2 = 1575290x^2 \] - Для \(k = 3\): \[ \binom{6}{3} (9)^3 (-4x)^3 = 20 \cdot 729 \cdot (-64x^3) = -9331200x^3 \] - Для \(k = 4\): \[ \binom{6}{4} (9)^2 (-4x)^4 = 15 \cdot 81 \cdot 256x^4 = 3110400x^4 \] - Для \(k = 5\): \[ \binom{6}{5} (9)^1 (-4x)^5 = 6 \cdot 9 \cdot (-1024x^5) = -55296x^5 \] - Для \(k = 6\): \[ \binom{6}{6} (9)^0 (-4x)^6 = 1 \cdot 1 \cdot 4096x^6 = 4096x^6 \] ### Шаг 4: Суммирование всех членов Теперь складываем все вычисленные члены: \[ (9 - 4x)^6 = 531441 - 1413724x + 1575290x^2 - 9331200x^3 + 3110400x^4 - 55296x^5 + 4096x^6 \] ### Итог Таким образом, разложение функции \((9 - 4x)^6\) по биному Ньютона даёт: \[ (9 - 4x)^6 = 531441 - 1413724x + 1575290x^2 - 9331200x^3 + 3110400x^4 - 55296x^5 + 4096x^6 \] Это конечный результат разложения, который содержит все члены от \(x^0\) до \(x^6\). Если у вас есть дополнительные вопросы или необходимы разъяснения по каким-то конкретным шагам, пожалуйста, дайте знать!