Прибор состоит из 10 узлов. Вероятность безотказной работы каждого узла за некоторое время t равна р = 0,8. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найдите вероятность…

Для решения этой задачи воспользуемся формулой биномиального распределения. Поскольку узлы выходят из строя независимо, и каждый узел может либо отказать, либо работать безотказно, мы можем моделировать количество отказов как биномиальную случайную величину.

Обозначим:

• \( n \) — общее количество узлов (в данном случае \( n = 10 \))
• \( k \) — количество узлов, которые откажут (в данном случае \( k = 4 \))
• \( p \) — вероятность безотказной работы (в данном случае \( p = 0,8 \))
• \( q \) — вероятность отказа узла (так как \( q = 1 - p \), то \( q = 1 - 0,8 = 0,2 \))

Для биномиального распределения вероятность того, что \( k \) узлов из \( n \) выйдут из строя, рассчитывается по формуле:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^{n-k} q^k \]

где \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — биномиальный коэффициент.

Теперь подставим значения в формулу:

1. Посчитаем биномиальный коэффициент:

\[ \binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210 \]

2. Теперь подставим \( n \), \( k \), \( p \), и \( q \) в формулу:

\[ P(X = 4) = \binom{10}{4} p^{n-4} q^4 = 210 \cdot (0,8)^{10-4} \cdot (0,2)^4 \]

3. Посчитаем \( (0,8)^6 \) и \( (0,2)^4 \):

\[ (0,8)^6 = 0,262144 \quad \text{и} \quad (0,2)^4 = 0,0016 \]

4. Теперь подставим эти значения в формулу:

\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0,262144 \cdot 0,0016 \]

5. Умножим:

\[ P(X = 4) \approx 210 \cdot 0,262144 \cdot 0,0016 \approx 0,0880 \]

Таким образом, вероятность того, что за время \( t \) откажут 4 узла, составляет примерно 0,0880 или 8,80%.

Таким образом, мы получили ответ, что вероятность отказа 4 узлов из 10 составляет примерно 8,80%.