Для решения этой задачи воспользуемся формулой биномиального распределения. Поскольку узлы выходят из строя независимо, и каждый узел может либо отказать, либо работать безотказно, мы можем моделировать количество отказов как биномиальную случайную величину.
Обозначим:
- ( n ) — общее количество узлов (в данном случае ( n = 10 ))
- ( k ) — количество узлов, которые откажут (в данном случае ( k = 4 ))
- ( p ) — вероятность безотказной работы (в данном случае ( p = 0,8 ))
- ( q ) — вероятность отказа узла (так как ( q = 1 - p ), то ( q = 1 - 0,8 = 0,2 ))
Для биномиального распределения вероятность того, что ( k ) узлов из ( n ) выйдут из строя, рассчитывается по формуле:
[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^{n-k} q^k
]
где ( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} ) — биномиальный коэффициент.
Теперь подставим значения в формулу:
- Посчитаем биномиальный коэффициент:
[
\binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210
]
- Теперь подставим ( n ), ( k ), ( p ), и ( q ) в формулу:
[
P(X = 4) = \binom{10}{4} p^{n-4} q^4 = 210 \cdot (0,8)^{10-4} \cdot (0,2)^4
]
- Посчитаем ( (0,8)^6 ) и ( (0,2)^4 ):
[
(0,8)^6 = 0,262144 \quad \text{и} \quad (0,2)^4 = 0,0016
]
- Теперь подставим эти значения в формулу:
[
P(X = 4) = 210 \cdot 0,262144 \cdot 0,0016
]
- Умножим:
[
P(X = 4) \approx 210 \cdot 0,262144 \cdot 0,0016 \approx 0,0880
]
Таким образом, вероятность того, что за время ( t ) откажут 4 узла, составляет примерно 0,0880 или 8,80%.
Таким образом, мы получили ответ, что вероятность отказа 4 узлов из 10 составляет примерно 8,80%.
