Рубин представляет собой кристалл корунда и имеет простейшую формулу Al2O3, в котором некоторое количество атомов алюминия замещено на атомы хрома. Определите массу оксида хрома…

Для решения задачи, давайте разобьем ее на несколько этапов:

Шаг 1: Определение массы образца корунда

У нас есть образец корунда массой 18 карат. Для начала переведем массу каратов в граммы.

\[ 1 \text{ карат} = 0.2 \text{ г} \] Следовательно, \[ 18 \text{ карат} = 18 \times 0.2 \text{ г} = 3.6 \text{ г} \]

Шаг 2: Определение количества атомов алюминия и хрома в искусственном рубине

Согласно условию, соотношение атомов алюминия (Al) и хрома (Cr) должно быть 97 к 3. Это означает, что на каждые 100 атомов в рубине 97 - это атомы алюминия, а 3 - атомы хрома.

Обозначим:

• \( n_{Al} \) — количество атомов алюминия,
• \( n_{Cr} \) — количество атомов хрома.

Согласно заданному соотношению: \[ \frac{n_{Al}}{n_{Cr}} = \frac{97}{3} \]

Итак, общее число атомов в искусственном рубине будет равно \( n_{Al} + n_{Cr} = n_{Al} + \frac{3}{97} n_{Al} = n_{Al} \left(1 + \frac{3}{97}\right) = n_{Al} \cdot \frac{100}{97} \).

Теперь можно выразить количество атомов хрома через количество атомов алюминия: \[ n_{Cr} = \frac{3}{97} n_{Al} \]

Шаг 3: Масса корунда и его состав

Корунд (Al2O3) состоит из 2 атомов Al и 3 атомов O. Атомная масса:

• Алюминий (Al) = 27 г/моль,
• Хром (Cr) = 52 г/моль,
• Кислород (O) = 16 г/моль.

Следовательно, молекулярная масса Al2O3: \[ M_{Al2O3} = 2 \times 27 + 3 \times 16 = 54 + 48 = 102 \text{ г/моль} \]

Находим количество моль корунда:

Количество моль корунда в нашем образце: \[ n_{Al2O3} = \frac{3.6 \text{ г}}{102 \text{ г/моль}} \approx 0.03529 \text{ моль} \]

Шаг 4: Количество атомов алюминия в образце

Теперь мы можем найти количество алюминия в корунде. Так как в одной молекуле Al2O3 содержится 2 атома Al, то общее количество атомов Al: \[ n_{Al} = 2 \times n_{Al2O3} = 2 \times 0.03529 \text{ моль} = 0.07058 \text{ моль} \]

Шаг 5: Находим количество Cr

Теперь находим количество атомов хрома (Cr) по соотношению: \[ n_{Cr} = \frac{3}{97} \cdot n_{Al} = \frac{3}{97} \cdot 0.07058 \approx 0.00218 \text{ моль} \]

Шаг 6: Масса оксида хрома (Cr2O3)

Теперь найдем массу оксида хрома, который состоит из 2 атомов хрома и 3 атомов кислорода (Cr2O3): \[ M_{Cr2O3} = 2 \times 52 + 3 \times 16 = 104 + 48 = 152 \text{ г/моль} \]

Шаг 7: Масса Cr2O3, которое нужно добавить

Чтобы найти массу оксида хрома, используя количество молей, мы используем формулу: \[ m_{Cr2O3} = n_{Cr2O3} \times M_{Cr2O3} \] \[ m_{Cr2O3} = 0.00218 \text{ моль} \times 152 \text{ г/моль} \approx 0.33136 \text{ г} \]

Шаг 8: Перевод в миллиграммы

Теперь переведем в миллиграммы: \[ 0.33136 \text{ г} = 331.36 \text{ мг} \]

Окончательный ответ

Округляя до целых, массa оксида хрома (III), которая необходима для получения искусственного рубина, составляет 331 мг.