Для решения задачи, давайте разобьем ее на несколько этапов:
Шаг 1: Определение массы образца корунда
У нас есть образец корунда массой 18 карат. Для начала переведем массу каратов в граммы.
[
1 \text{ карат} = 0.2 \text{ г}
]
Следовательно,
[
18 \text{ карат} = 18 \times 0.2 \text{ г} = 3.6 \text{ г}
]
Шаг 2: Определение количества атомов алюминия и хрома в искусственном рубине
Согласно условию, соотношение атомов алюминия (Al) и хрома (Cr) должно быть 97 к 3. Это означает, что на каждые 100 атомов в рубине 97 - это атомы алюминия, а 3 - атомы хрома.
Обозначим:
- ( n_{Al} ) — количество атомов алюминия,
- ( n_{Cr} ) — количество атомов хрома.
Согласно заданному соотношению:
[
\frac{n_{Al}}{n_{Cr}} = \frac{97}{3}
]
Итак, общее число атомов в искусственном рубине будет равно ( n_{Al} + n_{Cr} = n_{Al} + \frac{3}{97} n_{Al} = n_{Al} \left(1 + \frac{3}{97}\right) = n_{Al} \cdot \frac{100}{97} ).
Теперь можно выразить количество атомов хрома через количество атомов алюминия:
[
n_{Cr} = \frac{3}{97} n_{Al}
]
Шаг 3: Масса корунда и его состав
Корунд (Al2O3) состоит из 2 атомов Al и 3 атомов O. Атомная масса:
- Алюминий (Al) = 27 г/моль,
- Хром (Cr) = 52 г/моль,
- Кислород (O) = 16 г/моль.
Следовательно, молекулярная масса Al2O3:
[
M_{Al2O3} = 2 \times 27 + 3 \times 16 = 54 + 48 = 102 \text{ г/моль}
]
Находим количество моль корунда:
Количество моль корунда в нашем образце:
[
n_{Al2O3} = \frac{3.6 \text{ г}}{102 \text{ г/моль}} \approx 0.03529 \text{ моль}
]
Шаг 4: Количество атомов алюминия в образце
Теперь мы можем найти количество алюминия в корунде. Так как в одной молекуле Al2O3 содержится 2 атома Al, то общее количество атомов Al:
[
n_{Al} = 2 \times n_{Al2O3} = 2 \times 0.03529 \text{ моль} = 0.07058 \text{ моль}
]
Шаг 5: Находим количество Cr
Теперь находим количество атомов хрома (Cr) по соотношению:
[
n_{Cr} = \frac{3}{97} \cdot n_{Al} = \frac{3}{97} \cdot 0.07058 \approx 0.00218 \text{ моль}
]
Шаг 6: Масса оксида хрома (Cr2O3)
Теперь найдем массу оксида хрома, который состоит из 2 атомов хрома и 3 атомов кислорода (Cr2O3):
[
M_{Cr2O3} = 2 \times 52 + 3 \times 16 = 104 + 48 = 152 \text{ г/моль}
]
Шаг 7: Масса Cr2O3, которое нужно добавить
Чтобы найти массу оксида хрома, используя количество молей, мы используем формулу:
[
m_{Cr2O3} = n_{Cr2O3} \times M_{Cr2O3}
]
[
m_{Cr2O3} = 0.00218 \text{ моль} \times 152 \text{ г/моль} \approx 0.33136 \text{ г}
]
Шаг 8: Перевод в миллиграммы
Теперь переведем в миллиграммы:
[
0.33136 \text{ г} = 331.36 \text{ мг}
]
Окончательный ответ
Округляя до целых, массa оксида хрома (III), которая необходима для получения искусственного рубина, составляет 331 мг.
