Чтобы найти высоту цилиндра, вписанного в шар, прежде всего разберёмся с данными, которые у нас есть.
Шаг 1: Найти радиус шара
Площадь поверхности сферы (шара) рассчитывается по формуле:
[
S = 4\pi R^2
]
где (S) — площадь поверхности, а (R) — радиус шара.
В нашей задаче площадь поверхности равна (100\pi):
[
4\pi R^2 = 100\pi
]
Чтобы решить это уравнение, сначала разделим обе части на (\pi):
[
4R^2 = 100
]
Теперь разделим обе части на 4:
[
R^2 = 25
]
Затем извлекаем корень из обеих сторон:
[
R = 5
]
Итак, радиус шара равен (5).
Шаг 2: Рассмотреть параметры цилиндра
Цилиндр, вписанный в шар, будет иметь высоту (h) и радиус основания (r). В нашей задаче радиус основания цилиндра равен (4).
Шаг 3: Использовать геометрические соотношения
Когда цилиндр вписан в шар, он касается шара в своих верхней и нижней частях. Если обозначить высоту цилиндра как (h), то тогда около цилиндра можно нарисовать окружность (основание цилиндра), которая также будет касаться шара.
Итак, мы можем рассмотреть треугольник, который образуется из радиуса шара и радиуса цилиндра. Этот треугольник — прямоугольный, в котором:
- одна катета — это радиус основания цилиндра (r = 4),
- второй катет — это половина высоты цилиндра (h/2),
- гипотенуза — это радиус шара (R = 5).
По теореме Пифагора мы можем написать:
[
\left(\frac{h}{2}\right)^2 + r^2 = R^2
]
Подставим известные значения:
[
\left(\frac{h}{2}\right)^2 + 4^2 = 5^2
]
[
\left(\frac{h}{2}\right)^2 + 16 = 25
]
Теперь вычтем 16 из обеих сторон:
[
\left(\frac{h}{2}\right)^2 = 25 - 16
]
[
\left(\frac{h}{2}\right)^2 = 9
]
Теперь извлечем корень из обеих сторон:
[
\frac{h}{2} = 3
]
Следовательно, умножаем обе стороны на 2, чтобы найти (h):
[
h = 6
]
Ответ
Высота цилиндра равна (6).
