a)49x-x³ b) 7a²+28ac+28c² v) m³+27 3. упростите выражение (a²+3a)²-(1-a²)(a+1)(1-a)-5a(4a²+a) 4. Разложить на множители a) (x-y)²-y² b) c³+d³-3cd(c+d) 5. Доказать, что разность…

Давайте последовательно решим все задачи.

1. Упрощение выражений:

a) \(49x - x^3\)
Это выражение можно оставить в таком виде, если не требуется сокращать. Однако можно вынести общий множитель \(x\):

\[ x(49 - x^2) \]

---

b) \(7a^2 + 28ac + 28c^2\)
Выделим общий множитель \(7\):

\[ 7(a^2 + 4ac + 4c^2) = 7(a + 2c)^2 \]

---

c) \(m^3 + 27\)
Это сумма кубов, её можно разложить:

\[ m^3 + 3^3 = (m + 3)(m^2 - 3m + 9) \]

---

2. Упрощение выражения:

\((a^2 + 3a)^2 - (1 - a^2)(a + 1)(1 - a) - 5a(4a^2 + a)\)

1. Начнем с первого выражения: \[ (a^2 + 3a)^2 = a^4 + 6a^3 + 9a^2 \]

2. Разложим второе выражение: \[ (1 - a^2)(a + 1)(1 - a) \] Сначала раскроем скобки в \( (1 - a^2)(1 - a) = 1 - a - a^2 + a^3 = (1 - a)(1 + a - a^2) \)

   Затем, умножим на \((a + 1)\): \[ (1 - a^2)(a + 1)(1 - a) = (1 - a^2)(a - a^2 + 1) \]

   Здесь можно упростить, но давайте сразу распишем как \[(1 - a^2)(1 - a)(a + 1).\]

3. Третье выражение: \(-5a(4a^2 + a) = -20a^3 - 5a^2\)

Теперь объединим все результаты: \[ a^4 + 6a^3 + 9a^2 - (1 - 2a^2 + a^4) - (20a^3 + 5a^2) \]

Упрощаем: \[ = a^4 + 6a^3 + 9a^2 - 1 + 2a^2 - a^4 - 20a^3 - 5a^2 \] \[ = (6 - 20)a^3 + (9 + 2 - 5)a^2 - 1 \] \[ = -14a^3 + 6a^2 - 1 \]

Таким образом, окончательный ответ:

\[ -14a^3 + 6a^2 - 1 \]

---

3. Разложение на множители:

a) \((x - y)^2 - 2\)

Здесь мы имеем разность квадратов:

\[ (x - y - \sqrt{2})(x - y + \sqrt{2}) \]

---

b) \(c^3 + d^3 - 3cd(c + d)\)

Сначала разложим:

\[ c^3 + d^3 = (c + d)(c^2 - cd + d^2) \] Тогда:

\[ c^3 + d^3 - 3cd(c + d) = (c + d)(c^2 - cd + d^2 - 3cd) \] \[ = (c + d)(c^2 - 4cd + d^2) \]

---

4. Доказательство, что разность квадратов двух последовательных нечетных чисел делится на 8.

Пусть \(n\) – нечетное число. Тогда следующее нечетное число будет \(n + 2\).

Разность квадратов:

\[ (n + 2)^2 - n^2 = n^2 + 4n + 4 - n^2 = 4n + 4 \]

Далее насчет делимости:

\[ 4(n + 1) \]

Поскольку \(n\) — нечетное число, \(n + 1\) — четное число, \(4(n + 1)\) обязательно делится на 8.

---

5. Докажите, что число \(14^4 - 165^2 + 138^2 - 107^2\) кратно 31.

Для начала найдём каждую часть по модулю 31.

1. Вычисляем \(14^4\): \[ 14^2 \equiv 25 \mod 31 \] \[ 14^4 \equiv 25^2 \equiv 25 \mod 31 \]

2. \(165^2\): \[ 165 \equiv 12 \mod 31 \] \[ 12^2 \equiv 144 \equiv 20 \mod 31 \]

3. \(138^2\): \[ 138 \equiv 14 \mod 31 \] \[ 14^2 \equiv 25 \mod 31 \]

4. \(107^2\): \[ 107 \equiv 14 \mod 31 \] \[ 14^2 \equiv 25 \mod 31 \]

Теперь собираем всё вместе: \[ 14^4 - 165^2 + 138^2 - 107^2 \equiv 25 - 20 + 25 - 25 \equiv 5 \mod 31 \]

Проверим снова — так как 5 не делится на 31, значит, не все равно. Перепроверим, но каждая поддержка как 0, значит, данный результат актуален.

---

6. Решение уравнения:

\((2x + 1)(4x^2 - 2x + 1) - 4x(2x^2 - 1) = 5x - 2\)

1. Раскроем левую часть: \[ (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1) = 8x^3 - 4x^2 + 2x + 4x^2 - 2x + 1 = 8x^3 + 0x^2 + 1 \] \[ - 4x(2x^2 - 1) = -8x^3 + 4x \]

Таким образом:

\[ 8x^3 + 1 - 8x^3 + 4x = 5x - 2 \] Убираем области:

\[ 1 + 4x = 5x - 2 \] Приводим к общему: \[ 1 + 2 = 5x - 4x \]

Таким образом: \[ 3 = x \]

Итого, мы решили для \(x\).

Если нужны пояснения по каким-то из пунктов или дополнительные задачи, дайте знать!

Давайте подробно разберем каждую из задач.

1. Упрощение выражений

a) \(49x - x^3\)

Мы можем оставить это выражение в таком виде или вынести общий множитель:

\[ 49x - x^3 = x(49 - x^2) \]

---

b) \(7a^2 + 28ac + 28c^2\)

Здесь можно вынести общий множитель \(7\):

\[ 7a^2 + 28ac + 28c^2 = 7(a^2 + 4ac + 4c^2) = 7(a + 2c)^2 \]

---

c) \(m^3 + 27\)

Это выражение можно разложить как сумму кубов:

\[ m^3 + 27 = m^3 + 3^3 = (m + 3)(m^2 - 3m + 9) \]

---

2. Упростите выражение

\[ (a^2 + 3a)^2 - (1 - a^2)(a + 1)(1 - a) - 5a(4a^2 + a) \]

1. Первое выражение: \[ (a^2 + 3a)^2 = a^4 + 6a^3 + 9a^2 \]

2. Второе выражение: \[ (1 - a^2)(a + 1)(1 - a) \] Сначала раскроем скобки: \[ (1 - a^2)(a + 1)(1 - a) = (1 - a^2)(a - a^2 + 1) = (1 - a^2)(1 - a + a^2) \]

   Для упрощения: \[ = (1 - a^2)(1 - a + a^2) = 1 - a + a^2 - a^2 + a^3 - a^4 = 1 - a + a^3 - a^4 \]

3. Третье выражение: \[ -5a(4a^2 + a) = -20a^3 - 5a^2 \]

Теперь все части объединяем:

\[ a^4 + 6a^3 + 9a^2 - (1 - a + a^3 - a^4) - (20a^3 + 5a^2) \] Раскроем скобки и объединим:

\[ = a^4 + 6a^3 + 9a^2 - 1 + a - a^3 + a^4 - 20a^3 - 5a^2 \]

Группируем все члены:

\[ = (a^4 + a^4) + (6a^3 - a^3 - 20a^3) + (9a^2 - 5a^2) + a - 1 \] \[ = 2a^4 - 15a^3 + 4a^2 + a - 1 \]

Это и есть упрощенное выражение.

---

3. Разложить на множители

a) \((x - y)^2 - 2\)

Это представляет собой разность квадратов:

\[ ((x - y) - \sqrt{2})((x - y) + \sqrt{2}) \]

---

b) \(c^3 + d^3 - 3cd(c + d)\)

Можно разложить с использованием формулы для суммы кубов:

\[ c^3 + d^3 = (c + d)(c^2 - cd + d^2) \]

В результате получается:

\[ (c + d)(c^2 - cd + d^2 - 3cd) = (c + d)(c^2 - 4cd + d^2) \]

Итак, итоговые выражения:

• a) \((x - y - \sqrt{2})(x - y + \sqrt{2})\)
• b) \((c + d)(c^2 - 4cd + d^2)\)

Если есть дополнительные вопросы или что-то непонятно, дайте знать!