9x²-24x+7

Для решения квадратного уравнения \(9x^2 - 24x + 7 = 0\) можно использовать дискриминант. Уравнение имеет вид \(ax^2 + bx + c = 0\), где:

• \(a = 9\)
• \(b = -24\)
• \(c = 7\)

Сначала найдем дискриминант \(D\):

\[ D = b^2 - 4ac \]

Подставим значения:

\[ D = (-24)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 7 \]

\[ D = 576 - 252 \]

\[ D = 324 \]

Теперь, когда мы знаем дискриминант, можем найти корни уравнения с помощью формул:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \]

Подставим значения:

\[ x_1 = \frac{24 + \sqrt{324}}{2 \cdot 9} = \frac{24 + 18}{18} = \frac{42}{18} = \frac{7}{3} \]

\[ x_2 = \frac{24 - \sqrt{324}}{2 \cdot 9} = \frac{24 - 18}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3} \]

Таким образом, корни уравнения \(9x^2 - 24x + 7 = 0\) равны:

\[ x_1 = \frac{7}{3}, \quad x_2 = \frac{1}{3} \]

Хорошо! Давайте решим уравнение \(9x^2 - 24x + 7 = 0\) методом выделения полного квадрата.

1. Первым делом делим все коэффициенты на 9, чтобы упростить уравнение:

   \[ x^2 - \frac{24}{9}x + \frac{7}{9} = 0 \]

   Упрощаем:

   \[ x^2 - \frac{8}{3}x + \frac{7}{9} = 0 \]

2. Теперь выделим полный квадрат. Для этого нам нужно взять половину коэффициента при \(x\) (то есть \(-\frac{8}{3}\)), возвести его в квадрат и прибавить и вычесть это значение:

   \[ x^2 - \frac{8}{3}x + \left(\frac{4}{3}\right)^2 - \left(\frac{4}{3}\right)^2 + \frac{7}{9} = 0 \]

   Подсчитаем \(\left(\frac{4}{3}\right)^2\):

   \[ \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9} \]

3. Теперь подставим это в уравнение:

   \[ \left(x - \frac{4}{3}\right)^2 - \frac{16}{9} + \frac{7}{9} = 0 \]

   Сложим \(-\frac{16}{9} + \frac{7}{9}\):

   \[ -\frac{16}{9} + \frac{7}{9} = -\frac{9}{9} = -1 \]

   Теперь у нас получается:

   \[ \left(x - \frac{4}{3}\right)^2 - 1 = 0 \]

4. Переносим \(-1\) на правую сторону:

   \[ \left(x - \frac{4}{3}\right)^2 = 1 \]

5. Теперь извлекаем квадратный корень:

   \[ x - \frac{4}{3} = 1 \quad \text{или} \quad x - \frac{4}{3} = -1 \]

   Раскроем оба случая:

   • Для первого случая:

   \[ x - \frac{4}{3} = 1 \implies x = 1 + \frac{4}{3} = \frac{3}{3} + \frac{4}{3} = \frac{7}{3} \]

   • Для второго случая:

   \[ x - \frac{4}{3} = -1 \implies x = -1 + \frac{4}{3} = -\frac{3}{3} + \frac{4}{3} = \frac{1}{3} \]

Таким образом, корни уравнения \(9x^2 - 24x + 7 = 0\) равны:

\[ x_1 = \frac{7}{3}, \quad x_2 = \frac{1}{3} \]