Четырёхугольник M N K L MNKL вписан в окружность. Угол M N L MNL равен 2 3 ∘ 23 ∘ , угол K M L KML равен 6 4 ∘ 64 ∘ . Найди угол M N K MNK . Ответ дай в градусах.

Чтобы найти угол \( \angle MNK \) в вписанном четырехугольнике \( MNKL \), мы можем воспользоваться свойствами вписанных углов. Вписанный угол, опирающийся на одну и ту же дугу окружности, равен половине дуги, на которую он опирается.

1. Сначала обозначим углы:

   • Пусть \( \angle MNL = 23^\circ \).
   • Пусть \( \angle KML = 64^\circ \).

2. Согласно свойствам вписанных углов:

   • Угол \( \angle MNL \) опирается на дугу \( KL \).
   • Угол \( \angle KML \) опирается на дугу \( NL \).

3. Теперь найдем угол \( \angle KNM \):

   • Угол \( \angle KNM \) также опирается на ту же дугу \( KL \), что и угол \( \angle MNL \).
   • Таким образом, по свойству вписанных углов, мы имеем: \[ \angle KNM = \angle MNL = 23^\circ \]

4. Чтобы найти угол \( \angle MNK \):

   • Угол \( \angle MNK \) опирается на дугу \( ML \).
   • В четырехугольнике сумма противоположных углов равна \( 180^\circ \): \[ \angle MNL + \angle MNK + \angle KML + \angle KNM = 360^\circ \]
   • Из этого следует, что: \[ \angle MNK + \angle KNM + \angle KML + \angle MNL = 360^\circ \]
   • Поскольку \( \angle KNM = 23^\circ \) и \( \angle KML = 64^\circ \), подставим известные значения: \[ \angle MNK + 23^\circ + 64^\circ + 23^\circ = 360^\circ \]

5. Сложим известные углы:

   • \( 23^\circ + 64^\circ + 23^\circ = 110^\circ \)
   • Теперь у нас получается: \[ \angle MNK + 110^\circ = 360^\circ \]

6. Найдём \( \angle MNK \): \[ \angle MNK = 360^\circ - 110^\circ = 250^\circ \]

Однако, поскольку угол \( MNK \) является углом в треугольнике, мы должны учитывать, что в треугольнике он не может превышать \( 180^\circ \).

Итак, принимая во внимание, что \( MNK \) — это вписанный угол, который является частью четырехугольника, и учитывая противоположный угол, мы можем сказать, что противоположные углы суммируются до \( 180^\circ \).

Таким образом, искомый угол \( MNL = \angle MNK \) должен равняться \( 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \).

Таким образом, ответ: \[ \angle MNK = 70^\circ \]