В контрольной 6 примеров одинаковых по трудности задач . чтобы получить 5 баллов, нужно решить минимум 4 задачи . вероятность того что Олег решит задачу-0,8какова вероятность того…
В контрольной 6 примеров одинаковых по трудности задач . чтобы получить 5 баллов, нужно решить минимум 4 задачи . вероятность того что Олег решит задачу-0,8какова вероятность того что он получит пятерку ? Результат округлите до сотых
Для решения этой задачи воспользуемся концепцией биномиального распределения, так как у нас есть фиксированное количество испытаний (в данном случае, 6 задач), каждый из которых имеет два возможных исхода (успех или неуспех).
Дано:
- Вероятность успешного решения задачи: \( p = 0.8 \)
- Вероятность неуспешного решения задачи: \( q = 1 - p = 0.2 \)
- Общее количество задач: \( n = 6 \)
- Минимальное количество решенных задач для получения пятерки: \( k \geq 4 \)
Шаг 1: Определим нужные вероятности
Нам нужно найти вероятность того, что Олег решит 4, 5 или 6 задач. Это требует расчета трех вероятностей:
- Вероятность решить ровно 4 задачи.
- Вероятность решить ровно 5 задач.
- Вероятность решить ровно 6 задач.
Для вычисления каждой из этих вероятностей мы воспользуемся формулой биномиального распределения:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]
где:
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, считающийся по формуле \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
Шаг 2: Вычислим каждую вероятность отдельно.
Для \( k = 4 \): \[ P(X = 4) = C(6, 4) \cdot (0.8)^4 \cdot (0.2)^2 \] Сначала найдем биномиальный коэффициент: \[ C(6, 4) = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \] Теперь подставим значения: \[ P(X = 4) = 15 \cdot (0.8)^4 \cdot (0.2)^2 = 15 \cdot 0.4096 \cdot 0.04 = 15 \cdot 0.016384 = 0.24576 \]
Для \( k = 5 \): \[ P(X = 5) = C(6, 5) \cdot (0.8)^5 \cdot (0.2)^1 \] Биномиальный коэффициент: \[ C(6, 5) = 6 \] Подставим: \[ P(X = 5) = 6 \cdot (0.8)^5 \cdot (0.2) = 6 \cdot 0.32768 \cdot 0.2 = 6 \cdot 0.065536 = 0.393216 \]
Для \( k = 6 \): \[ P(X = 6) = C(6, 6) \cdot (0.8)^6 \cdot (0.2)^0 \] Биномиальный коэффициент: \[ C(6, 6) = 1 \] Подставим: \[ P(X = 6) = 1 \cdot (0.8)^6 \cdot 1 = 0.262144 \]
Шаг 3: Найдем общую вероятность того, что Олег получит пятерку.
Теперь складываем вероятности для случаев, когда Олег решит 4, 5 или 6 задач: \[ P(\text{пятерка}) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) \] \[ P(\text{пятерка}) = 0.24576 + 0.393216 + 0.262144 = 0.901120 \]
Шаг 4: Округляем результат до сотых.
Таким образом, вероятность того, что Олег получит пятерку, составляет примерно 0.90.
Ответ: 0.90
