Для решения этой задачи воспользуемся концепцией биномиального распределения, так как у нас есть фиксированное количество испытаний (в данном случае, 6 задач), каждый из которых имеет два возможных исхода (успех или неуспех).
Дано:
- Вероятность успешного решения задачи: ( p = 0.8 )
- Вероятность неуспешного решения задачи: ( q = 1 - p = 0.2 )
- Общее количество задач: ( n = 6 )
- Минимальное количество решенных задач для получения пятерки: ( k \geq 4 )
Шаг 1: Определим нужные вероятности
Нам нужно найти вероятность того, что Олег решит 4, 5 или 6 задач. Это требует расчета трех вероятностей:
- Вероятность решить ровно 4 задачи.
- Вероятность решить ровно 5 задач.
- Вероятность решить ровно 6 задач.
Для вычисления каждой из этих вероятностей мы воспользуемся формулой биномиального распределения:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
]
где:
- ( C(n, k) ) — биномиальный коэффициент, считающийся по формуле ( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} )
Шаг 2: Вычислим каждую вероятность отдельно.
Для ( k = 4 ):
[
P(X = 4) = C(6, 4) \cdot (0.8)^4 \cdot (0.2)^2
]
Сначала найдем биномиальный коэффициент:
[
C(6, 4) = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15
]
Теперь подставим значения:
[
P(X = 4) = 15 \cdot (0.8)^4 \cdot (0.2)^2 = 15 \cdot 0.4096 \cdot 0.04 = 15 \cdot 0.016384 = 0.24576
]
Для ( k = 5 ):
[
P(X = 5) = C(6, 5) \cdot (0.8)^5 \cdot (0.2)^1
]
Биномиальный коэффициент:
[
C(6, 5) = 6
]
Подставим:
[
P(X = 5) = 6 \cdot (0.8)^5 \cdot (0.2) = 6 \cdot 0.32768 \cdot 0.2 = 6 \cdot 0.065536 = 0.393216
]
Для ( k = 6 ):
[
P(X = 6) = C(6, 6) \cdot (0.8)^6 \cdot (0.2)^0
]
Биномиальный коэффициент:
[
C(6, 6) = 1
]
Подставим:
[
P(X = 6) = 1 \cdot (0.8)^6 \cdot 1 = 0.262144
]
Шаг 3: Найдем общую вероятность того, что Олег получит пятерку.
Теперь складываем вероятности для случаев, когда Олег решит 4, 5 или 6 задач:
[
P(\text{пятерка}) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)
]
[
P(\text{пятерка}) = 0.24576 + 0.393216 + 0.262144 = 0.901120
]
Шаг 4: Округляем результат до сотых.
Таким образом, вероятность того, что Олег получит пятерку, составляет примерно 0.90.
Ответ: 0.90
