Вычислите

Чтобы решить данную задачу, мы упростим алгебраическое выражение, содержащее тригонометрические функции.

Дано выражение:

\[ \frac{\sin \frac{2\pi}{5} \sin \frac{3\pi}{5} - \cos \frac{2\pi}{5} \cos \frac{3\pi}{5}}{\sin \frac{\pi}{8} \sin \frac{7\pi}{8} - \cos \frac{\pi}{8} \cos \frac{7\pi}{8}} \]

Числитель:

В числителе используем формулу разности косинусов:

\[ \cos A \cos B - \sin A \sin B = \cos(A+B) \]

Применяем формулу:

• Пусть \(A = \frac{2\pi}{5}\) и \(B = \frac{3\pi}{5}\).
• Тогда \(\cos\left(A+B\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{5} + \frac{3\pi}{5}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{5}\right) = \cos(\pi) = -1\).

Итак, числитель равен \( -1 \).

Знаменатель:

Аналогично числителю, используем ту же формулу для косинусов:

• Пусть \(A = \frac{\pi}{8}\) и \(B = \frac{7\pi}{8}\).
• Тогда \(\cos\left(A+B\right) = \cos\left(\frac{\pi}{8} + \frac{7\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{8\pi}{8}\right) = \cos(\pi) = -1\).

Знаменатель тоже равен \( -1 \).

Заключение:

Теперь можно подставить полученные значения в оригинальное выражение:

\[ \frac{-1}{-1} = 1 \]

Таким образом, результат выражения равен \(1\).