Задумали трёхзначное число, последняя цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 693 693 . Найди…
Задумали трёхзначное число, последняя цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 693 693. Найди все числа, большие 900 900 и обладающие таким свойством. В ответ запиши числа в порядке возрастания, используя символ «;», без пробелов. Пример: 953;958;978
Для решения задачи необходимо найти все трёхзначные числа, у которых есть следующие характеристики:
- Число состоит из трёх цифр.
- Последняя цифра не равна нулю.
- Если из этого числа вычесть трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, то получается 693.
Обозначим искомое число как \( ABC \), где \( A \), \( B \), и \( C \) — его цифры (и \( A \neq 0 \), так как \( ABC \) — трехзначное число, а \( C \neq 0 \) по условию).
Пусть \( ABC \) можно записать в виде:
\[ ABC = 100A + 10B + C \]
Его перевёрнутое значение \( CBA \) можно записать как:
\[ CBA = 100C + 10B + A \]
Согласно условию задачи, вычитая \( CBA \) из \( ABC \), мы должны получить 693:
\[ ABC - CBA = 693 \]
Подставим наши выражения в это уравнение:
\[ (100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 693 \]
Упрощая уравнение, нам нужно выполнить следующие действия:
\[ (100A - A) + (10B - 10B) + (C - 100C) = 693 \] \[ 99A - 99C = 693 \]
Можно вынести 99 за скобки:
\[ 99(A - C) = 693 \]
Делим обе стороны на 99:
\[ A - C = \frac{693}{99} = 7 \]
Теперь мы знаем, что \( A = C + 7 \). Поскольку \( A \) и \( C \) — цифры, то \( A \) может принимать значения от 1 до 9, а \( C \) — от 1 до 9 (последнее не равно 0).
Поскольку \( A = C + 7 \), это ограничивает возможные значения для \( C \):
- Если \( C = 1 \), то \( A = 8 \).
- Если \( C = 2 \), то \( A = 9 \).
- Если \( C = 3 \), то \( A = 10 \) (недопустимо, так как цифры не могут быть больше 9).
Таким образом, возможные пары \( (A, C) \) будут:
- \( (8, 1) \) → \( ABC = 8B1 \)
- \( (9, 2) \) → \( ABC = 9B2 \)
Теперь нам нужно проверить, какие значения \( B \) могут принимать. \( B \) — любая цифра от 0 до 9.
Тогда, подставляя возможные значения \( B \):
Для \( A = 8 \) и \( C = 1 \):
- Числа: 801, 811, 821, 831, 841, 851, 861, 871, 881, 891 (из них больше 900: 881, 891)
Для \( A = 9 \) и \( C = 2 \):
- Числа: 902, 912, 922, 932, 942, 952, 962, 972, 982, 992 (все числа больше 900)
Теперь соберём все числа, которые больше 900:
- Из первой группы: 881, 891
- Из второй группы: 902, 912, 922, 932, 942, 952, 962, 972, 982, 992
Итак, все подходящие числа, которые соответствуют условиям задачи и больше 900, в порядке возрастания:
Ответ:
881;891;902;912;922;932;942;952;962;972;982;992
