На ребре СС1, прямоугольного параллелепипеда ABCDА1В1С1Д1, отметили точку М так, что СМ : С1М= 1 : 2. Найдите угол между прямой А1М и плоскостью CDD1, если AD = 4 корень из 2 см,…

Для решения этой задачи начнем с визуализации прямоугольного параллелепипеда ABCDА1В1С1Д1 и установления координат его вершин.

Шаг 1: Определим координаты вершин параллелепипеда.

Если положим точку A в начало координат, то координаты вершин будут следующими:

• A(0, 0, 0)
• B(4, 0, 0) (AD = 4√2, но B лежит на оси x)
• C(4, 4, 0)
• D(0, 4, 0)
• A1(0, 0, 6)
• B1(4, 0, 6)
• C1(4, 4, 6)
• D1(0, 4, 6)

Шаг 2: Найдем координаты точки М.

На ребре СС1 координаты точки С будут (4, 4, 0) и С1 (4, 4, 6). Мы знаем, что СМ : С1М = 1 : 2, то есть точка M делит отрезок CC1 в отношении 1:2.

Используя формулу деления отрезка в заданном отношении, мы можем вычислить координаты точки M следующим образом:

• М(4, 4, z), где z = [0 * 2 + 6 * 1] / (1+2) = 2 см.

Итак, координаты точки M равны (4, 4, 2).

Шаг 3: Определим уравнение плоскости CDD1.

Плоскость CDD1 определяется точками C(4, 4, 0), D(0, 4, 0) и D1(0, 4, 6).

Для нахождения уравнения плоскости можно задать векторные направления из точки C:

• AC = D - C = (0 - 4, 4 - 4, 0 - 0) = (-4, 0, 0)
• AD = D1 - D = (0 - 0, 4 - 4, 6 - 0) = (0, 0, 6)

Теперь найдем векторное произведение этих двух векторов, чтобы получить нормальный вектор плоскости.

\[ \mathbf{n} = AC \times AD = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{vmatrix} = (0 \cdot 6 - 0 \cdot 0)\mathbf{i} - (-4 \cdot 6 - 0 \cdot 0)\mathbf{j} + (-4 \cdot 0 - 0 \cdot 0)\mathbf{k} = (0, -24, 0). \]

Это дает нам нормальный вектор плоскости CDD1, который можно также записать как (0, 1, 0) (умножив его на -1 для удобства).

Шаг 4: Найдите угол между прямой A1M и плоскостью CDD1.

Угол \(\phi\) между прямой и плоскостью определяется как:

\[ \sin(\phi) = \frac{|\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}|}{|\mathbf{n}| |\mathbf{v}|} \]

где \(\mathbf{n}\) - нормальный вектор плоскости, а \(\mathbf{v}\) - направляющий вектор прямой A1M.

Направляющий вектор A1M:

\[ \mathbf{v} = M - A1 = (4 - 0, 4 - 0, 2 - 6) = (4, 4, -4). \]

Нормальный вектор плоскости CDD1:

\[ \mathbf{n} = (0, 1, 0). \]

Найдем скалярное произведение:

\[ \mathbf{n} \cdot \mathbf{v} = 0 \cdot 4 + 1 \cdot 4 + 0 \cdot (-4) = 4. \]

Найдем длины векторов:

• \( |\mathbf{n}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1 \)
• \( |\mathbf{v}| = \sqrt{4^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}. \)

Подставим значения в формулу:

\[ \sin(\phi) = \frac{|4|}{1 \cdot (4\sqrt{3})} = \frac{4}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}. \]

Теперь можем найти угол:

\[ \phi = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right). \]

Ответ

Таким образом, угол между прямой A1M и плоскостью CDD1 равен \(\phi = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\), что приблизительно равно 19.2° (по округлению).