Контрольная работа по теме "правильные многоугольники" длина окружности и площадь круга задача 1. Радиус вписанной окружности в правильный треугольник равен 17 см найти высоту…

Давайте разберем обе задачи по порядку.

Задача 1: Найти высоту правильного треугольника, если радиус вписанной окружности равен 17 см.

Пошаговое решение:

1. Формула радиуса вписанной окружности: Радиус вписанной окружности \( r \) правильного треугольника можно выразить через его сторону \( a \): \[ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \] Если \( r = 17 \) см, то можем записать: \[ 17 = \frac{a \sqrt{3}}{6} \]

2. Найдем сторону треугольника \( a \): Переписываем уравнение для нахождения \( a \): \[ a = \frac{17 \cdot 6}{\sqrt{3}} = \frac{102}{\sqrt{3}} = \frac{102 \sqrt{3}}{3} = 34 \sqrt{3} \text{ см} \]

3. Теперь найдем высоту: В правильном треугольнике высота \( h \) также выражается через сторону \( a \): \[ h = \frac{a \sqrt{3}}{2} \] Подставляем значение \( a \): \[ h = \frac{34\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{34 \cdot 3}{2} = \frac{102}{2} = 51 \text{ см} \]

Таким образом, высота правильного треугольника равна 51 см.

Задача 2: Найти радиус окружности, описанной около прямоугольника со сторонами 16 см и \(\sqrt{420}\) см.

Пошаговое решение:

1. Формула радиуса описанной окружности: Радиус \( R \) окружности, описанной около прямоугольника, рассчитывается по формуле: \[ R = \frac{d}{2} \] где \( d \) — длина диагонали прямоугольника.

2. Найдем диагональ: Длина диагонали прямоугольника с длинами сторон \( a \) и \( b \) рассчитывается по формуле: \[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \] Подставим наши значения \( a = 16 \) см и \( b = \sqrt{420} \): \[ d = \sqrt{16^2 + (\sqrt{420})^2} = \sqrt{256 + 420} = \sqrt{676} = 26 \text{ см} \]

3. Находим радиус: Теперь можем подставить значение диагонали в формулу радиуса: \[ R = \frac{26}{2} = 13 \text{ см} \]

Таким образом, радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен 13 см.

Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!