Решите систему уравнений 1/x - 1/y = 4/5 3x+y=8

Давайте решим систему уравнений пошагово. Дана система уравнений: 1. \( \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{4}{5} \) 2. \( 3x + y = 8 \) **Шаг 1: Упростим первое уравнение.** Умножим обе стороны первого уравнения на \( xy \), чтобы избавиться от дробей: \[ y - x = \frac{4}{5}xy \] Это уравнение можно переписать как: \[ y - x - \frac{4}{5}xy = 0 \] **Шаг 2: Разберемся со вторым уравнением.** Из второго уравнения можно выразить \( y \) через \( x \): \[ y = 8 - 3x \] **Шаг 3: Подставим выражение для \( y \) в первое уравнение.** Теперь подставим \( y \) из второго уравнения в первое: \[ (8 - 3x) - x - \frac{4}{5}x(8 - 3x) = 0 \] Упростим уравнение: \[ 8 - 4x - \frac{4}{5}(8x - 3x^2) = 0 \] Раскроем скобки: \[ 8 - 4x - \frac{32}{5}x + \frac{12}{5}x^2 = 0 \] Переведем 8 в дробь с модулем 5: \[ \frac{40}{5} - 4x - \frac{32}{5}x + \frac{12}{5}x^2 = 0 \] Соберем все в одну дробь: \[ \frac{40 - 20x - 32x + 12x^2}{5} = 0 \] Умножим обе части на 5, чтобы избавиться от знаменателя: \[ 40 - 52x + 12x^2 = 0 \] **Шаг 4: Приведем уравнение к стандартному виду.** Преобразуем уравнение: \[ 12x^2 - 52x + 40 = 0 \] Разделим все коэффициенты на 4 для упрощения: \[ 3x^2 - 13x + 10 = 0 \] **Шаг 5: Найдем корни квадратного уравнения.** Для решения используем дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 169 - 120 = 49 \] Теперь находим корни: \[ x_1 = \frac{13 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{13 + 7}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \] \[ x_2 = \frac{13 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{13 - 7}{6} = \frac{6}{6} = 1 \] **Шаг 6: Найдем соответствующие значения \( y \).** Теперь найдем \( y \) для каждого найденного \( x \). 1. Если \( x = \frac{10}{3} \): \[ y = 8 - 3\left(\frac{10}{3}\right) = 8 - 10 = -2 \] 2. Если \( x = 1 \): \[ y = 8 - 3(1) = 8 - 3 = 5 \] **Шаг 7: Запишем ответ.** Таким образом, мы получили две пары решений: 1. \( (x, y) = \left( \frac{10}{3}, -2 \right) \) 2. \( (x, y) = (1, 5) \) Это и есть решение системы уравнений.