Решите систему уравнений 1/x - 1/y = 4/5 3x+y=8
Давайте решим систему уравнений пошагово.
Дана система уравнений:
- \( \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{4}{5} \)
- \( 3x + y = 8 \)
Шаг 1: Упростим первое уравнение.
Умножим обе стороны первого уравнения на \( xy \), чтобы избавиться от дробей:
\[ y - x = \frac{4}{5}xy \]
Это уравнение можно переписать как:
\[ y - x - \frac{4}{5}xy = 0 \]
Шаг 2: Разберемся со вторым уравнением.
Из второго уравнения можно выразить \( y \) через \( x \):
\[ y = 8 - 3x \]
Шаг 3: Подставим выражение для \( y \) в первое уравнение.
Теперь подставим \( y \) из второго уравнения в первое:
\[ (8 - 3x) - x - \frac{4}{5}x(8 - 3x) = 0 \]
Упростим уравнение:
\[ 8 - 4x - \frac{4}{5}(8x - 3x^2) = 0 \]
Раскроем скобки:
\[ 8 - 4x - \frac{32}{5}x + \frac{12}{5}x^2 = 0 \]
Переведем 8 в дробь с модулем 5:
\[ \frac{40}{5} - 4x - \frac{32}{5}x + \frac{12}{5}x^2 = 0 \]
Соберем все в одну дробь:
\[ \frac{40 - 20x - 32x + 12x^2}{5} = 0 \]
Умножим обе части на 5, чтобы избавиться от знаменателя:
\[ 40 - 52x + 12x^2 = 0 \]
Шаг 4: Приведем уравнение к стандартному виду.
Преобразуем уравнение:
\[ 12x^2 - 52x + 40 = 0 \]
Разделим все коэффициенты на 4 для упрощения:
\[ 3x^2 - 13x + 10 = 0 \]
Шаг 5: Найдем корни квадратного уравнения.
Для решения используем дискриминант \( D \):
\[ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 169 - 120 = 49 \]
Теперь находим корни:
\[ x_1 = \frac{13 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{13 + 7}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \] \[ x_2 = \frac{13 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{13 - 7}{6} = \frac{6}{6} = 1 \]
Шаг 6: Найдем соответствующие значения \( y \).
Теперь найдем \( y \) для каждого найденного \( x \).
Если \( x = \frac{10}{3} \): \[ y = 8 - 3\left(\frac{10}{3}\right) = 8 - 10 = -2 \]
Если \( x = 1 \): \[ y = 8 - 3(1) = 8 - 3 = 5 \]
Шаг 7: Запишем ответ.
Таким образом, мы получили две пары решений:
- \( (x, y) = \left( \frac{10}{3}, -2 \right) \)
- \( (x, y) = (1, 5) \)
Это и есть решение системы уравнений.
