Решите систему уравнений 1/x - 1/y = 4/5 3x+y=8
Чтобы решить систему уравнений, давайте рассмотрим каждое уравнение отдельно и попробуем выразить одну переменную через другую.
Дана система уравнений:
- \( \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{4}{5} \) (1)
- \( 3x + y = 8 \) (2)
Шаг 1: Преобразуем первое уравнение
Начнем с первого уравнения. Упростим его:
\[ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{4}{5} \]
Для удобства давайте умножим все уравнение на \(xy\) (при условии, что \(x\) и \(y\) не равны 0):
\[ y - x = \frac{4}{5}xy \]
Теперь можем привести его к стандартному виду:
\[ y - x - \frac{4}{5}xy = 0 \]
Шаг 2: Используем второе уравнение для выражения \(y\)
Теперь, из второго уравнения выразим \(y\):
\[ y = 8 - 3x \quad (3) \]
Шаг 3: Подставляем \(y\) из уравнения (3) в уравнение (1)
Теперь подставим \(y\) из уравнения (3) в уравнение (1):
\[ \frac{1}{x} - \frac{1}{8 - 3x} = \frac{4}{5} \]
Следовательно, умножим оба части уравнения на \(5x(8 - 3x)\):
\[ 5(8 - 3x) - 5x = \frac{4}{5} \cdot 5x(8 - 3x) \] \[ 40 - 15x - 5x = 4x(8 - 3x) \] \[ 40 - 20x = 32x - 12x^2 \]
Шаг 4: Приводим уравнение к стандартному виду
Соберем все в одну сторону:
\[ 12x^2 - 52x + 40 = 0 \]
Шаг 5: Решаем квадратное уравнение
Теперь, используя формулу корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\), получаем:
\[ D = b^2 - 4ac = (-52)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 40 \] \[ D = 2704 - 1920 \] \[ D = 784 \]
Теперь находим \(x\):
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{52 \pm 28}{2 \cdot 12} \] \[ x_1 = \frac{80}{24} = \frac{10}{3} \] \[ x_2 = \frac{24}{24} = 1 \]
Шаг 6: Находим соответствующие \(y\)
Теперь находим \(y\) для каждого найденного значения \(x\).
Для \(x = \frac{10}{3}\): \[ y = 8 - 3 \cdot \frac{10}{3} = 8 - 10 = -2 \]
Для \(x = 1\): \[ y = 8 - 3 \cdot 1 = 8 - 3 = 5 \]
Ответ:
Таким образом, решения данной системы уравнений:
\[ (x, y) = \left(\frac{10}{3}, -2\right) \quad \text{и} \quad (1, 5) \]
Эти пары \((x, y)\) являются корнями вашей системы уравнений.
