найди значение выражения 8!/4!×3! 5!×3!/2!×4!

Для решения выражения \( \frac{8!}{4! \times 3!} \times \frac{5! \times 3!}{2! \times 4!} \), начнем с того, что мы разберем и упростим каждую часть.

Шаг 1: Упрощение числителя и знаменателя

Первое, что нужно помнить, это то, что факториал \( n! \) (читается "n факториал") — это произведение всех натуральных чисел от 1 до \( n \).

Часть 1: \( \frac{8!}{4! \times 3!} \)

Теперь давайте упростим первую часть выражения:

\[ \frac{8!}{4! \times 3!} \]

Факториалы выглядят следующим образом:

\[ 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \] \[ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 \] \[ 3! = 3 \times 2 \times 1 \]

Теперь подставим:

\[ \frac{8!}{4! \times 3!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{1} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \]

Здесь мы можем заметить, что \( 4! \) и \( 3! \) сократят до числа \( 1 \), когда мы выполним деление.

Часть 2: \( \frac{5! \times 3!}{2! \times 4!} \)

Теперь разберем вторую часть:

\[ \frac{5! \times 3!}{2! \times 4!} \]

Опять же, факториалы имеют следующие значения:

\[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \] \[ 2! = 2 \times 1 \] \[ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 \]

Теперь подставим в выражение:

\[ \frac{5! \times 3!}{2! \times 4!} = \frac{(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1)}{(2 \times 1) \times (4 \times 3 \times 2 \times 1)} \]

Шаг 2: Объединение обеих частей

Теперь мы объединим обе части вместе:

\[ \frac{8!}{4! \times 3!} \times \frac{5! \times 3!}{2! \times 4!} = \left( \frac{8!}{4! \times 3!} \right) \times \left( \frac{5! \times 3!}{2! \times 4!} \right) \]

Теперь упростим:

\[ = \frac{8! \times 5! \times 3!}{4! \times 3! \times 2! \times 4!} \]

Поскольку \( 3! \) можно сократить, то:

\[ = \frac{8! \times 5!}{4! \times 2! \times 4!} \]

Шаг 3: Подставление значений

Теперь мы можем подставить числа и вычислить значение.

Если мы найдем \( 8! \), \( 5! \), \( 4! \) и \( 2! \):

• \( 8! = 40320 \)
• \( 5! = 120 \)
• \( 4! = 24 \)
• \( 2! = 2 \)

Теперь вычислим значение:

\[ = \frac{40320 \times 120}{24 \times 2 \times 24} \] \[ = \frac{40320 \times 120}{1152} \]

Поскольку \( 1152 = 24 \times 2 \times 24 \), мы можем выполнить деление:

\[ = \frac{40320 \times 120}{1152} = 3500 \]

Ответ

Таким образом, значение выражения \( \frac{8!}{4! \times 3!} \times \frac{5! \times 3!}{2! \times 4!} \) равно \( 3500 \).